10 Комбинаторика
Анықтама. Берілген әртұрлі n элементтен m элемент бойынша орналастыру деп, әрқайсысы бір-бірінен не құрамы бойынша, не орналау реті бойынша ажыралатын комбинацияларды айтады.
Орналастырулардың жалпы саны мына формуламен анықталады.
(1)
Анықтама. Берілген әртүрлі n элементтен n элемент бойынша алмастырулар деп, әрқайсысы бір-бірінен тек орналасу реті бойынша ғана ажыратылатын комбинацияларды айтады.
Алмастырулардың жалпы саны
(2)
Сонндай-ақ алмастыруларды орналастырулардың жеке түрі ретінде қарастыруға болады,яғни
Анықтама. Берілген әртүрлі n элементтен m элемент бойынша терулерден,әрқайсысы бір-бірінен тек құрамы бойынша ажыратылатын комбинацияларды айтады.
Терулердің жалпы саны мына формуламен есептеледі.
(3)
Комбинаторика формулаларын пайдаланғанда мынадай екі ережені жиі пайдаланамыз.
Қосу ережесі. Егер әртүрлі А және В элементтерді сәйкес n және m рет жолмен таңдап алатын болсақ,онда осы екі элементтің біреуін (А-ны,болмаса В-ны) m+n рет жолмен таңдап алуға болады.
Көбейтү
ережесі.
Егер бір группада m элемент,ал екінші
группада n ээлемент болса,онда әрбір
группадан бір элементтен алып құрылған
қосақтардың саны
көбейтіндігінен
анықталады.
Расында бірінші группаның бір элементі екінші группаның
әрбір элементімен қосақталынады және керісінше,сондықтан қосақтардың жалпы саны көбейтіндісіне тең болады.
Есептің жалпы түрі.
Жәшікте N шар бар, оның M-көк,(N-M) қызыл. Алынған n шардың m-ы көк болу ықтималдығы қандай? Ол мына формуламен есептелінеді:
Мысал. Жәшікте 15 шар бар, оның 5 көк,10 қызыл; Қалай болса солай алты шар алынды. Осы шарлардың 2-і көк болу ықтималдығын тап.
Шешуі.
Жалпы жағдай
Қ
олайлы
жағдай
Екі
көк шар алу ықтималдығы
Ескерту. Жоғарыда қарастырған элементтеріміз бір-бірінен ерекше деп алыпты,яғни әр элемент бір реттен тәжірибемізге қатысты. Егер тәжірибеге қатысқан элементтердің кейбірі бірнеше рет қайталанса онда алмастырулар, орналастырулар,терулер басқаша формулалармен есептеледі.
Мысалы,егер n элементтің n-біртүрлі, n2-екінші түрлі, т.с.с…nk,-k түрлі қайталанса онда қайталамалы алмастырулар мына формуламен есептелінеді:
мұндағы
Егер
n элементтен k-дан жасалған орналастырулар
саны
ал
қайталамалы орналастырулар
саны
үшін
белгілеулерін
еңгізсек, онда
ал
формулаларымен
есептелінеді.
Қайталамалы терулер.
n
элементтен k-дан жасалған қайталамалы
терулер деп әрқайсысы k-элементтен
тұратын топтарды айтады және де әрбір
элемент осы n топтардың біреуіне тиісті.
Барлық қайталамалы терулер санын
арқылы
белгілесек, онда
формуласымен есептеледі.
Неміс метематигі Михаиль Штифель:”Ноль шын ақиқат (оң) сандар мен теріс сандардың шекарасы”-деген.
Мысалдар: Қорапта 15 қызыл,9 көк,6 жасыл шар бар. Қалай болса солай 6 шар алынды. Осы шарлардың 1 жасыл,2 көк,3 қызыл болуының ықтималдығы қандай? Теру заңы бойынша:
Шешуі:
жалпы
жағдай
Қолайлы жағдай:
