17 Үлестірім фукциясы

Анықтама: Х кездейсоқ шамасының үлестірім функциясы F(x) деп теңсіздігі орындалу ықтималдығын айтады.

Дискретті Х кездейсоқ шамасы үшін

Мұндағы х₁,х₂,…,х_n- кездейсок Х шамасының қабылдайтын мәндері, p₁,p₂,…,p_n –сол мәндерді қабылдау ықтималдықтары,ал қосынды теңсіздігіне сәйкес барлық . сандары бойынша алынады. Үлестірім функциясы дискретті және үздіксіз кездейсоқ шамаларға да қатысты болады.

Айталық Х дискретті кездейсоқ шама үлестірім кестесі арқылы берілген болсын

Х	0	1	3	3,5
p	0,1	0,4	0,2	0,3

Х-тің үлестірім функциясын табыңыз.

Шешуі: Ол үшін анықтаманы пайдаланамыз.

Кестеден байқағанымыздай болса, онда х-тің кабылдайтын мүмкін мәндері жоқ.

Ал болғанда х-тің қабылдайтын бір мәні бар, ол нөл, енді болса, х-тің кабылдайтын екі мәні бар, ол 0;1;

Енді болса, онда х-тің үш мәні бар, ол 0,1,3; ақырында болса, онда х өзінің барлық мүмкін мәндерін қабылдайды ол-0,1,3,3,5;

Енді анықтаманы түсіндірейік. Жоғарыда айтқанымыздай болса,онда есептің шарты, бойынша 0-санының солжағында берілген кездейсоқ шаманың ешбір мүмкін мәні жоқ, яғни кездейсоқ шаманың өзінің мүмкін мәндерінің біреуін қабылдауын оқиға екенін ескерсек, онда оның 0-санының сол жағынан мән қабылдауы мүмкін емес оқиға, олай болса

Енді болса, онда 1-санының сол жағында есептің шарты бойынша кездейсоқ шаманың бір мәні бар, ол 0,1-саны. Олай болса

Сол сияқты болғанда, 3-санының сол жағында кездейсоқ шаманың екі мәні бар. Ол осы мәндердің біреуін қабылдауы мүмкін, яғни екі оқиғаның біреуі пайда болады дегеніміз. Сондай-ақ бұл екі оқиға үйлесімсіз, сондықтан үйлесімсіз оқиғалардың қосындысының ықтималығы туралы теореманы пайдаланып

Осы жолмен болғанда және болғандағы F(x) тің мәндерін есептеуге болады.

Сонымен қорытындысында

Енді F(x) функциясының сүлбесін тұрғызайық.

y

1 F(x)=1

0,7

F(x=0) 0,5

0,1

0 1 2 3 3,5 x

1-сүлбе

Табылған үлестірім функциясын интегралдық үлестірім функциясы дейді, ол дискретті және үздіксіз кездейсоқ шамаларға қатысты болады.

Енді интегралдық үлестірім функциясының қасиеттерін көрсетейік:

1. үлестірім функциясы F(x) функциясы оң, шектелген функция

себебі ол ықтималдықты көрсетеді

Оның графигі (сүлбесі) y=0, y=1 түзулерінің арасында орналасқан;

2) үлестірім функциясы кемімейтін функция, яғни болғанда болады.

Шынында да оқиғасын және оқиғасының қосындысы деп қарастыруға болады, сондықтан ықтималдықтарды қосу теоремасы бойынша

болып, осыдан

теңдігін аламыз. Ал бұл теңдікті (Х₁,Х₂) аралығына қолдансақ.

бұл теңдіктің сол жағы оң сан демек

1 Егер Х кездейсоқ шамасының қабылдайтын мәндері тек (a,b) аралығында болса мәндерінде F(x)=0 және мәндерінде F(x)=1 болады.

Жалпы жағдайда болады деп есептелінеді.

Дискретті кездейсок шаманың үлестірім функциясының сүлбесі сатылы баспалдақты (1-сүлбе) болса, үздіксіз кездейсоқ шаманың үлестірім функциясының сүлбесінің жалпы түрі 2-сүлбеде көрсетілген.

2 Үлестірім функциясы сол жағынан үздіксіз функция.

F(x)

1

y=F(x)

0. x

2-сүлбе

2-сүлбе үздіксіз кездейсоқ шаманың интегралдық үлестірім функциясының қисығын бейнелейді