1. Параллельные прямые (определение). Признаки параллельности двух прямых и доказательство этих признаков.

О пределение. Две прямые называются параллельными, если они не пересекаются, сколько бы их не продолжали.

Т еорема. Две прямые, перпендикулярные к третьей прямой, не пересекаются (параллельны).

Д ано: а – прямая;

Доказать:

Доказательство:

1) Допустим, что Мысленно перегнем чертеж по прямой а так, чтобы верхняя часть чертежа наложилась на нижнюю.

2) Так как то луч РА наложится на луч РА₁. Аналогично луч QB наложится на луч QB₁.

3) Если то эта точка наложится на некоторую точку М₁, также лежащую на прямых АА₁ и ВВ₁, т. е.

4) Тогда через две точки М и М₁ проходят две прямые АА₁ и ВВ₁, что противоречит аксиоме существования прямых. Следовательно, прямые АА₁ и ВВ₁ не пересекаются, а значит, по определению параллельных прямых.

Признаки параллельности прямых.

Теорема 1. Если при пересечении двух прямых третьей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Доказательство: Пусть при пересечении прямых a и b секущей АВ внутренние накрест лежащие углы равны. Докажем, что aIIb.

1)

2) Проведем через середину отрезка АВ. На прямой b от точки В отложим отрезок BH₁ = AH. Проведем отрезок ОH₁.

3) Рассмотрим ∆AHO и ∆BH₁O.

4) Из

5) Из

6) Из

7)

Т еорема 2. Если при пересечении двух прямых третьей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Дано:

Доказать:

Доказательство:

1)

2) и являются внутренними накрест лежащими

Теорема 3. Если при пересечении двух прямых третьей сумма односторонних углов равна 180, то прямые параллельны.

Дано: Доказать:

Доказательство:

1)

2) и являются внутренними накрест лежащими

2. Нахождение гипотенузы, катета и острого угла прямоугольного треугольника по данным второму катету и острому углу.

Дано: а и ∠А. Найти с, b и ∠В.

Решение. Имеем:

с=a/sinA;b=a/tgA;∠B=90∘−∠A

3. Задача «Углы в окружности».

Билет № 5

1. Определение вписанного угла. Доказательство теоремы об измерении вписанного угла.

Определение. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.

Теорема о градусной мере вписанного угла. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Д оказательство:

1). Одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности.

OA = OB = R  Δ АОВ – равнобедренный 

ОАВ = ОВА (углы при основании равнобедренного Δ АОВ).

СОВ – внешний угол Δ АОВ 

СОВ = ОАВ + ОВА = 2ОАВ.

СОВ – центральный угол СОВ = СВ

САВ = ОАВ = 0,5СОВ = 0,5СВ.

2). Центр окружности лежит внутри вписанного угла.

Внутри угла ВАС проведем луч АТ через центр окружности. Согласно аксиоме измерения углов

ВАС = ВАT + CАT = 0,5ВT + 0,5СT =

= 0,5(ВT + СT) = СВ.