1. Уравнение окружности (вывод). Взаимное расположение прямой и окружности.

2. Задача по теме «Решение треугольника».

Билет № 20

4. Теорема Пифагора (прямая и обратная). Пифагоровы тройки чисел, египетский треугольник.

Т еорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

Доказательство:

1). Пусть т – прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой с.

2). Построим квадрат K со стороной a + b. На сторонах квадрата отметим точки D, E, F, G так, чтобы отрезки DE, EF, FG, GD отсекали от квадрата K прямоугольные треугольники Т₁, Т₂, Т₃ и Т₄ с катетами a и b.

3). Все прямоугольные треугольники Т₁, Т₂, Т₃ и Т₄ равны треугольнику Т (по двум катетам). Поэтому их гипотенузы равны гипотенузе треугольника Т. Следовательно DE = EF = FG = GD.

4). Докажем, что четырехугольник defg является квадратом.

5) По принципу равносоставленности

Значение теоремы Пифагора. Это одна из главных теорем геометрии. С ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии.

Теорема, обратная теореме Пифагора. Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.

Доказательство:

1). Пусть в треугольнике АВС АВ² = АС² + ВС². Докажем, что угол С – прямой.

2). Рассмотрим прямоугольный треугольник А₁В₁С₁ с прямым углом С₁, у которого А₁С₁ = АС, В₁С₁ = ВС.

3). В треугольнике А₁В₁С₁ по теореме Пифагора (А₁В₁)² = (А₁С₁)² + (В₁С₁)². Следовательно (А₁В₁)² = АС² + ВС².

4). Докажем равенство сторон ав и а1в1.

5). Докажем равенство треугольников  авс и  а1в1с1.

6). Таким образом, треугольник авс – прямоугольный с прямым углом с.

На основании доказанной теоремы можно по известным длинам сторон треугольника определять вид треугольника в зависимости от величин его углов.

1. Если АВ² = АС² + ВС², то треугольник АВС прямоугольный с прямым углом С.

2. Если АВ² > АС² + ВС², то треугольник АВС тупоугольный с тупым углом С.

3 . Если АВ² < АС² + ВС², причем АВ – наибольшая из сторон треугольника АВС, то треугольник АВС остроугольный, а угол С – самый большой в треугольнике.

Прямоугольные треугольники, у которых длины сторон выражаются целыми числами, называются пифагоровыми треугольникам. Прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4 и 5 называется египетским.

2. Доказательство теоремы о градусной мере угла между хордой и касательной, проведенной через ее конец. Построение касательной к окружности, проходящей через данную точку, не лежащую на окружности.

3. Задача по теме «Подобие».

Билет № 21

4. Теорема синусов. Следствие из теоремы.

5. Доказательство теорем об углах, образованных пересекающимися хордами и секущими, проведенными из одной точки к окружности.

Теорема 1 (о градусной мере угла между двумя пересекающимися хордами). Угол между двумя пересекающимися хордами имеет градусную меру, равную полусумме градусных мер тех дуг, на которые опирается

этот угол и угол, вертикальный к нему.

Доказать:

Доказательство:

Способ 1. Рассмотрим CEB.

Способ 2. Построим AG II CD.

Заметим, что  DG =  AC – симметричны относительно центра окружности.

Т еорема 2 (о градусной мере угла, образованного двумя секущими). Угол, образованный двумя секущими, пересекающимися в какой-либо точке вне круга, имеет градусную меру, равную половине разности градусных мер большей и меньшей дуг, высекаемых этими секущими на окружности и заключенными между ними.

Доказать:

Доказательство:

Способ 1.

Рассмотрим  CMB.

Способ 2.

Проведем BE II MC.

Заметим, что  AB =  CE – симметричны относительно центра окружности.