2. Определение вневписанной окружности. Теорема о центре вневписанной окружности.

3. Задача по теме «Векторы».

Билет № 12

1. Определение прямоугольника. Доказать свойства и признаки прямоугольника.

Определение 1. Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

Так как прямоугольник является параллелограммом, то он обладает всеми свойствами параллелограмма.

Особое свойство прямоугольника. Диагонали прямоугольника равны.

Д ано: ABCD – прямоугольник.

Доказать: AС = BD.

Доказательство: Рассмотрим АВС и ВСD.

ВС – общая; АВ = СD (по свойству параллелограмма);АС = ВD (по условию); АВС = ВСD = 90° (по свойству прямоугольника).  АВС = ВCD (как прямоугольные по двум катетам).  АС = ВD.

Признак прямоугольника. Параллелограмм, диагонали которого равны, является прямоугольником.

Д ано: ABCD – параллелограмм; AC = BD.

Доказать: ABCD – прямоугольник.

Доказательство: Рассмотрим АВС и ВСD. ВС – общая; АС = ВD (по условию);АВ = СD (по свойству параллелограмма). АВС = ВCD (по 3 признаку).  АВС = ВСD.

АВС + ВСD = 180°  АВС = ВСD = 90°. В = D и А = С (по свойству параллелограмма).  ABCD – прямоугольник.

2. Выражение расстояния между двумя точками через координаты этих точек (три случая).

3. Задача на тему «Окружность».

Билет № 13

1. Определение ромба. Доказать свойства и признаки ромба. Вывод формулы

.

Определение 1. Ромбом называется параллелограмм, все стороны которого равны.

Так как ромб является параллелограммом, то он обладает всеми свойствами параллелограмма.

Особое свойство ромба. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

Д ано: ABCD – ромб.

Доказать: АС  ВD; ВАС = САD;

AВD = DBC.

Доказательство:

Рассмотрим АВС. АВ = ВС, АО = ОС.  ВО – высота и биссектриса АВC.  ВС  AD; АВO = CВO. Рассмотрим АВD. АВ = AD, BО = ОD.

 AО – высота и биссектриса BАD.  ВAO = OAD.

Признаки ромба.

Признак 1. Если диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны, то параллелограмм является ромбом.

Д ано: ABCD – параллелограмм; АС  ВD.

Доказать: АВСD – ромб.

Доказательство:

АО = ОС (по свойству диагоналей параллелограмма);

ВО = ОD (по свойству диагоналей параллелограмма); АОВ = ВОС = СОD = АОD = 90°;  АОВ = ВОС = СОD = AOD (как прямоугольные по двум катетам); АВ = ВС = СD = AD; АВСD – ромб.

П ризнак 2. Если диагональ параллелограмма является биссектрисой его угла, то параллелограмм является ромбом.

Дано: ABCD – параллелограмм;

ВАО = ОАD.

Доказать: АВСD – ромб.

Доказательство: АО – общая; ВО = ОD (по свойству диагоналей параллелограмма); ВАО = DAО (по условию);  АОВ = AOD (как прямоугольные по катету и прилежащему острому углу);  АВ = AD  АВСD – ромб.

2. Выражение радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник через его стороны (вывод формулы).

3. Задача по теме «Биссектриса внутреннего угла треугольника».

Билет № 14

1. Построение отрезков х= .

Построение отрезков по формулам

,  сводится к построению прямоугольного треугольника по его катетам, либо гипотенузе и катету. В первом случае х – гипотенуза, во втором – катет.

Задача о построении четвертого пропорционального отрезка.

Даны отрезки a, b и c. Построить отрезок

1. Строим любой неразвернутый угол с вершиной о.

2. Откладываем на одной стороне угла отрезки OA = a и OB = b.

3. Откладываем на другой стороне угла отрезок OС = с.