Разность векторов и обозначается так: - .

Рассмотрим задачу о построении разности двух векторов.

Задача. Даны векторы и . Построить вектор - .

Решение.

А Отметим на плоскости произвольную точку О и

отложим от этой точки векторы и .

- По правилу треугольника , или

. Таким образом, сумма векторов и равна вектору

О В

По определению разности векторов это означает, что , т.е. вектор искомый.

Введем понятие вектора, противоположного данному.

В Пусть - произвольный ненулевой вектор.

Вектор называется противоположным вектору , если векторы и имеют равные длины и противоположно направлены

.

Вектор является противоположным вектору . Вектором, противоположным нулевому вектору, считается нулевой вектор.

Вектор, противоположный вектору , обозначается так: - .

Очевидно, + (- ) = .

Теорема. Для любых векторов и справедливо равенство - = + (- ).

Доказательство. По определению разности векторов ( - ) + = . Прибавив к обеим частям этого равенства вектор (- ), получим:

( - ) + + (- ) = + (- ), или ( - ) + = + (- ), откуда - = + (- ).

Отметим на плоскости произвольную точку О и отложим от этой точки вектор

. Затем от точки А отложим вектор По теореме о

-

разности векторов - = + (- ), поэтому - = т.е. вектор искомый.

Произведением ненулевого вектора на число k называется такой вектор , длина которого равна , причем векторы и сонаправлены при k  0 и противоположно направлены при k  0. Произведением нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор.

Произведение вектора на число k обозначается так: k .

k  = , если:

3

-2

Из определения произведения вектора на число следует, что:

1. произведение любого вектора на число нуль есть нулевой вектор;

2. для любого числа k и любого вектора векторы и k коллинеарны.

Следствия из определения:

1.  0 = 0;

2. Для любого числа k и любого вектора векторы и k коллинеарные.

Основные свойства умножения вектора на число:

1. (kl ) = k (l ) (сочетательный закон)

2. (k + l) = k + l (первый распределительный закон )

3. k( + ) = k + k (второй распределительный закон)

Умножение вектора на число обладает следующими основными свойствами: для любых чисел k, l и любых векторов , справедливы равенства:

Доказательство. Если k  0, l  0,  , то оба вектора (kl ) и k (l ) имеют одну и ту же длину, равную , и одно и то же направление. Это направление такое же, как и у , если k и l одного знака, и противоположно , если k и l разного знака.

2)

О k А l В

Если сумма k + l  0, то векторы (k + l) и k + l будут сонаправлены с вектором и иметь одинаковые длины:

(k + l) = k + l .

Если (k + l)  0, то (-k – l)  0 и, по доказанному, (-k - l) = - (k + l ).

Откуда умножением на (-1) получаем (k + l) = k + l .

А

3) А₁

О + В₁ В

 ОАВ   ОА₁В₁ с коэффициентом подобия k, поэтому . С другой стороны, Таким образом, k( + ) = k + k .