3. Задача по теме «Теорема синусов».

Билет № 15

1. Определение средней линии треугольника и трапеции. Доказательство теорем о средней линии треугольника и трапеции.

Определение 1. Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется средней линией треугольника.

Свойство средней линии треугольника. Средняя линия треугольника параллельна основанию треугольника и равна его половине.

Дано: ABC; MN, ND, MD – средние линии.

Доказать: MN II AC;

Доказательство:

1. Продолжим MN за точку N и на продолжении отложим PN = MN.

2. Рассмотрим mbn и npc.

BN = NC (по определению средней линии); MN = NP (по построению); MNВ = PNC (вертикальные);  MВN = NPC (по 1 признаку)  BMN = NPC (внутренние накрест лежащие)  АВ II PC.

3. CP = MB (из равенства треугольников);

AM = MB (по определению средней линии);  CP = АM.

5. АM II PC; AM = PC  AMPC – параллелограмм  AC = MP; AC II MP.

6. MP = 2MN (по построению)  MN = 0,5AC.

7. AC II MP; MNMP;  MN II AC.

Определение 2. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется средней линией трапеции.

Свойство средней линии трапеции. Средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции и равна их полусумме.

Дано: ABCD – трапеция; AD II BC; MN – средняя линия.

Доказать: MN II AD; MN II BС;

Доказательство:

Рассмотрим NВС и NDE. СN = ND (по условию); ВNС = END (вертикальные);

BСN = NDE (внутренние накрест лежащие при BC II AD и секущей CD); NВС и NDE (по 2 признаку)  BN = NE; BC = DE. Рассмотрим AВE. MN – средняя линия MN II AD; MN=0,5AE.

AE = AD + DE = AD + BC 

2. Построение окружности, вписанной в треугольник и описанной около него.

Чтобы построить вписанную окружность, достаточно:

1. Построить биссектрисы любых двух углов треугольника и найти точку их пересечения – центр вписанной окружности.

2. Из полученной точки – центра вписанной окружности – опустить перпендикуляр на любую из сторон треугольника. Длина полученного отрезка – радиус вписанной окружности.

3. Полученным радиусом построить окружность из полученного центра.

Центр вписанной окружности всегда лежит внутри треугольника.

Чтобы построить описанную окружность, достаточно:

1. Построить два серединных перпендикуляра к двум любым сторонам треугольника и найти точку их пересечения – центр описанной окружности.

2. Соединить полученную точку – центр описанной окружности – с любой из вершин треугольника. Длина полученного отрезка – радиус описанной окружности.

3. Полученным радиусом построить окружность.

Центр описанной окружности лежит: в остроугольном треугольнике – внутри него;

в прямоугольном треугольнике – на середине гипотенузы;

в тупоугольном треугольнике – вне окружности.

3.Задача по теме «Векторы».

Билет № 16

1.Определение подобных треугольников. Сформулировать лемму о подобии треугольников. Сформулировать и доказать признаки подобия треугольников.

Лемма. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то соответствующие стороны треугольников пропорциональны.

В₁

В

А С А₁ С₁

Дано:  АВС,  А₁В₁С₁, А = А₁, В = В₁

Доказать:

Доказательство.

Так как сумма углов треугольника равна 180, то С = 180 - А - В и С₁ = 180 - А₁ - В₁  С = С₁.

А = А₁  ; С = С₁   .

Аналогично, используя равенство А = А₁, В = В₁, находим

Получили, = k – коэффициент подобия ( А₁В₁С₁   АВС).

4. Построение касательной к окружности (два случая).

5. Задача по теме « Четырехугольники».

Билет № 17

1. Вывод формулы Герона.

Формула, устанавливающая связь между длинами сторон произвольного треугольника и его площадью, называется формулой Герона.

В треугольнике АВС:

ВС = а; АВ = с; АС = b;

AE  BC, AE = h_a;

AE∩BC = {E}; CE = x; BE = a─x.

По теореме Пифагора из САЕ:

По теореме Пифагора из ВАЕ:

По аналогии запишем:

Найдем площадь АВC:

2. Свойство чевианы о разбиении площади треугольника на части. Теоремы о «ласточкином хвосте».

3. Задача на тему «Задачи на построение».

Билет № 18

1. Вывод формул площадей параллелограмма .

2. Доказать теорему об отношении отрезков медиан, на которые они делятся центром тяжести.

3. Задача по теме «Векторы».

Билет № 19

1. Трапеция (определение). Вывод формулы площади трапеции. Теорема о четырех точках трапеции (доказательство).

Определение 1. Трапецией называется четырехугольник, две стороны которого параллельны, а две другие – непараллельные.

Параллельные стороны трапеции называются основаниями, а непараллельные стороны – боковыми.

Трапеция, боковые стороны которой равны, называется равнобедренной. Трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям, называется прямоугольной.