Билеты устного экзамена по геометрии.

8 Класс. 2013-2014 уч. Г.

Билет №1

1. Определение и свойства равнобедренного треугольника. Доказательство теоремы о свойстве медианы равнобедренного треугольника, проведенной к основанию.

2. Определение вектора, его длины. Равные и противоположные векторы. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число.

3. Задача по теме «Подобие треугольников».

Билет № 2

1. Определение равных треугольников. Признаки равенства треугольников (доказательство всех признаков).

2. Деление отрезка на п равных частей. Доказательство теоремы Фалеса.

3. Задача по теме «Метод координат»

Билет № 3

1. Пропорциональные отрезки в круге (доказать теоремы о пересекающихся хордах, пересекающихся секущих, секущей и касательной, проведенных из одной точки к окружности).

2. Вывод формулы для вычисления суммы внутренних углов выпуклого многоугольника.

3. Задача «Решение прямоугольного треугольника».

Билет № 4

1. Параллельные прямые (определение). Признаки параллельности двух прямых и доказательство этих признаков.

2. Нахождение гипотенузы, катета и острого угла прямоугольного треугольника по данным второму катету и острому углу.

3. Задача «Углы в окружности».

Билет № 5

1. Определение вписанного угла. Доказательство теоремы об измерении вписанного угла.

2. Вывод формул площади треугольника .

3. Задача по теме «Трапеция».

Билет № 6

1. Определение внешнего угла треугольника. Доказать теорему о внешнем угле треугольника. Сумма внешних углов п - угольника.

2. Нахождение значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов в 30⁰, 45⁰, 60⁰.

3. Задача по теме «Пропорциональные отрезки в круге».

Билет № 7

1. Геометрическое место точек. Теорема о геометрическом месте точек, равноудаленных от двух данных точек, в геометрической и аналитической формах.

2. Площадь прямоугольника, прямоугольного треугольника и площадь квадрата.

3. Задача по теме «Элементы треугольника»

Билет № 8

1. Определение треугольника. Доказать теорему о сумме углов треугольника. Замечательные точки треугольника: центр тяжести, ортоцентр, центры вписанной, описанной и вневписанной окружностей.

2. Определение тригонометрических функций острого угла прямоугольного треугольника, основные тригонометрические тождества с выводом.

3. Задача по теме «Параллелограмм».

Билет № 9

1. Определение прямоугольного треугольника. Признаки равенства прямоугольного треугольника (доказательство всех признаков).

2. Окружность (определение). Формула для вычисления длины дуги окружности (без вывода). Вывод формулы длины дуги окружности.

3. Задача по теме « Задача на построение».

Билет № 10

1. Определение параллелограмма. Свойства параллелограмма с доказательством (не менее четырех свойств).

2. Построение биссектрисы угла. Доказать свойство биссектрисы треугольника. Теорема об отношении отрезков биссектрисы треугольника, но которые она делится точкой пересечения биссектрис.

3. Задача по теме «Прямоугольник, квадрат».

Билет № 11

1. Доказать признаки параллелограмма. Построение параллелограмма по двум сторонам и диагонали.

2. Определение вневписанной окружности. Теорема о центре вневписанной окружности.

3. Задача по теме «Векторы».

Билет № 12

1. Определение прямоугольника. Доказать свойства и признаки прямоугольника.

2. Выражение расстояния между двумя точками через координаты этих точек (три случая).

3. Задача на тему «Окружность».

Билет № 13

1. Определение ромба. Доказать свойства и признаки ромба. Вывод формулы

.

2. Выражение радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник через его стороны (вывод формулы).

3. Задача по теме «Биссектриса внутреннего угла треугольника».

Билет № 14

1. Построение отрезков х= .

2. Определение вписанного четырехугольника. Доказательство свойства углов вписанного четырехугольника.

3. Задача по теме «Теорема синусов».

Билет № 15

1. Определение средней линии треугольника и трапеции. Доказательство теорем о средней линии треугольника и трапеции.

2. Построение окружности, вписанной в треугольник и описанной около него.

3. Задача по теме «Векторы».

Билет № 16

1. Определение подобных треугольников. Сформулировать лемму о подобии треугольников. Сформулировать и доказать признаки подобия треугольников.

2. Построение касательной к окружности (два случая).

3. Задача по теме « Четырехугольники».

Билет № 17

1. Вывод формулы Герона.

2. Свойство чевианы о разбиении площади треугольника на части. Теоремы о «ласточкином хвосте».

3. Задача на тему «Задачи на построение».

Билет № 18

1. Вывод формул площадей параллелограмма .

2. Доказать теорему об отношении отрезков медиан, на которые они делятся центром тяжести.

3. Задача по теме «Векторы».

Билет № 19

1. Трапеция (определение). Вывод формулы площади трапеции. Теорема о четырех точках трапеции (доказательство).

2. Уравнение окружности (вывод). Взаимное расположение прямой и окружности.

3. Задача по теме «Решение треугольника».

Билет № 20

1. Теорема Пифагора (прямая и обратная). Пифагоровы тройки чисел, египетский треугольник.

2. Доказательство теоремы о градусной мере угла между хордой и касательной, проведенной через ее конец. Построение касательной к окружности, проходящей через данную точку, не лежащую на окружности.

3. Задача по теме «Подобие».

Билет № 21

1. Теорема синусов. Следствие из теоремы.

2. Доказательство теорем об углах, образованных пересекающимися хордами и секущими, проведенными из одной точки к окружности.

3. Задача по теме «Метод координат».

Билет № 22

1. Теорема косинусов. Следствие из теоремы.

2. Построение прямой, параллельной данной. Построение касательной, проходящей через данную точку, не лежащую на данной окружности.

3. Задача по теме « Подобие».

Билет № 23

1. Теорема об отношении площадей треугольников, имеющих по одному равному углу. Вывод формул площадей треугольника через радиусы вписанной и описанной окружностей.

2. Описанный четырехугольник. Свойство сторон описанного четырехугольника. Формула площади выпуклого четырехугольника . Частный случай, если диагонали взаимно перпендикулярны.

3. Задача по теме «Окружность».

Билет № 24

1. Определение подобных многоугольников. Построение многоугольника, подобного данному. Теоремы об отношении периметров и площадей подобных многоугольников.

2. Неравенство треугольника.

3. Задача по теме «Элементы треугольника».

Билет № 25

1. Теорема о сумме квадратов диагоналей параллелограмма.

2. Доказать тождества:

.