Оператор Собеля

Оператор Собеля тоже использует область изображения 3х3, отображенную на рисунке 2. Он довольно похож на оператор Превитта, а видоизменение заключается в использовании весового коэффициента 2 для средних элементов:  (1.11) и  (1.12) Это увеличенное значение используется для уменьшения эффекта сглаживания за счет придания большего веса средним точкам.  Маски, используемые оператором Собеля, отображены на рисунке ниже (см. рис. 5). Рисунок 5. Маски оператора Собеля Рассмотренные выше маски применяются для получения составляющих градиента  . Для вычисления величины градиента эти составляющие необходимо использовать совместно:  (1.14) или  (1.15)

7. Аналогия и задачи распознавания.

Наблюдение за тем, как люди, порой сами того не замечая, используют аналогию в самых разных областях науки, причем нередко обе области, между которыми аналогия проводится далеки друг от друга, показывает существенную пользу этого понятия.

Появление понятий и приемов изучения ситуаций, объектов и явлений нередко объявляется как новые, хотя они имеют, как правило, в своей основе элементы, которые уже прошли проверку временем. Так, например, введенные понятия «память», «обратная связь», «управление», «самоорганизация» широко используются в разных областях человеческой деятельности, достаточно далеких друг от друга. Они характеризуют сходные в чем-то явления, существующие в природе, в технике, живом организме, так и в человеческом обществе. Основы этих понятий связаны тесным образом с процедурами по аналогии.

Таким образом, суждения по аналогии основаны на сравнении объектов, явлений и процессов, зачастую взятых из достаточно далеких друг от друга и различных областей знаний.

«Счет и простейшие арифметические действия, выполнимые лишь с целыми числами, были освоены еще в доисторические времена. Операции с рациональными числами были досконально изучены к античной эпохе – их систематически излагает в своих «Началах» Эвклид. Но иррациональных чисел античные математики не знали. Потому-то они и считали, например, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной: ведь их отношение выражается «незаконным» иррациональным числом 2. Не имея общей числовой меры, оба отрезка существовали тем не менее как геометрические объекты. И это подсказывало выход из затруднительного положения: заменить исследование чисел исследованием фигур. Тот же Эвклид все действия над рациональными числами описывает на «геометрическом» языке: сложение чисел объясняет как сложение отрезков, а их произведение выражает площадью прямых прямоугольника со сторонами, равными данным отрезкам.

Так возникла так называемая геометрическая алгебра. Она позволила обойти немало каверзных вопросов, но оперировать ею было нелегко. Для тех действий, которые сегодняшний школьник выполняет с помощью формул в виде короткой выкладки, порой приходилось подыскивать геометрические аналогии, требовавшие изощренной изобретательности».

Итак, числа (рациональные и иррациональные) в геометрической алгебре аналогичны отрезкам прямой, а произведение их (и, как частный случай, возведение в квадрат) аналогично площади геометрической фигуры (прямоугольника или квадрата). Подчеркиваю, аналогичны, поскольку о тождественности этих понятий, разумеется, не может быть и речи.

Более того, на примере этих двух аналогичных областей математики легко видеть одно из основных положений метода аналогии: то, что сложно в исходной области, может оказаться простым в области аналогии и наоборот – то, что сложно в области аналогии, может оказаться простым, если воспользоваться понятиями исходной области.

Геометрические доказательства могут быть проще и нагляднее, чем соответствующие алгебраические.

Математические модели.

Сходство. Расстояние.

Шкалы. Нормирование признаков. Шкалы.

8. Понятие расстояния. Полуметрика. Примеры.

11. Понятие расстояния. Метрика. Примеры.

24. Создать алгоритм классификации типа метода дальних соседей.

27. Создать алгоритм классификации типа метода средней связи.

Отметим, что выпол­нение аксиомы треугольника необязательно. Естественно считать два объекты тем более «схожими», чем ближе они находятся друг к другу в смысле расстояния ρ. Вводя ρ, мы тем самым неявно готовимся к формированию иско­мых классов. Очевидно, что такая интерпретация «схо­жести» будет эффективна только в том случае, когда вве­денное расстояние ρ соответствует содержательной сто­роне конкретной рассматриваемой задачи кластер-ана­лиза. Выбор расстояния для каждой конкретной задачи кластер-анализа является неформальной процедурой и осу­ществляется обычно лицом, проектирующим систему, решающую задачу кластер-анализа.

Определение «схожести» между объектыми с по­мощью расстояния между ними в пространстве объектов Х приводит к тому, что «схожими» будут те объекты, которые собраны в компактные группы. Каж­дая такая группа объектов и образует один класс (т. е. все эти объекты принадлежат одному образу). Это означает также, что рассматриваемая интерпретация «схожести» имеет смысл в предположении о том, что гипотеза компактности объектов имеет место.

Такой подход и определение «схожести» ориентированы на использование информации о классах, содержа­щейся во взаимном расположении объектов в простран­стве объектов Х. В связи с этим алгоритм, реализую­щий решение аадачи кластер-анализа, должен уметь выделять в пространстве области с большой плотностью объектов из последовательности x₁,…,x_m и игнорировать те области, где эта плотность мала.

Рассмотрим теперь множество S всевозможных различных разбиений последовательности объектов x₁,…,x_m на непересекающие группы, Очевидно, что максимальное число групп, на которое можно разбить последовательность объектов x₁,…,x_m, есть m, т.е. по одному объекту на группу. Минимальное же число групп в разбиении равно единице, т.е. все объекты собраны в одну группу. Очевидно, что S конечно. Если отождествлять группы объектов с классами, на которые необходимо разбить исходную последователь­ность объектов, то мы получаем, что S есть совокуп­ность всех возможных решений задачи кластер-анализа для последовательности объектов x₁,…,x_n дру­гими словами, S есть совокупность всевозможных клас­сификаций объектов x₁,…,x_n. Однако большая часть таких решений, по-видимому, отнюдь не сводит в один класс «схожие» объекты. Очевидно, что среди всех этих решений мы должны выбрать то, которое в не­котором смысле наилучшим образом осуществляет отне­сение «схожих» объектов из последовательности x₁,…,x_n по классам. Это означает, что необходимо задать некоторый функционал J, сопоставляющий каж­дому решению задачи кластер-анализа некоторую число­вую оценку, а затем искать такое решение, на котором он достигает экстремума. Выбор такого функционала также является неформальной процедурой, которая осу­ществляется обычно проектировщиком системы, решаю­щей задачу кластер-анализа на основе априорных данных и собственного опыта. Таким образом, алгоритм, реа­лизующий решение задачи кластер-анализа, можно рас­сматривать как алгоритм выбора из конечного множества решений S экстремального (в смысле функционала J) решения. Другими словами, под задачей кластер-анализа мы будем подразумевать задачу отыскания экстремального (в смысле функционала J) разбиения заданной последовательности объектов x₁,…,x_m.

Отметим, что обычно в качестве функционала J берут среднее расстояние между объектыми, относимыми в один и тот же класс, и суммируют его по всем классам. При этом отыскивают такое решение, при котором функционал J минимален.

Иногда некоторая априорная ин­формация позволяет сделать вывод о необходимости по­строения иерархического решения задачи кластер анализа. Отметим также, что поиск наилучшего решения задачи кластер анализа прямым перебором всех решений невозможен, так как S = 2^m - 1, а m порядка 100.

В настоящее время существуют пакеты прикладных программ, реализующие большое число алгоритмов решения задачи кластер анализа. Выбор того или иного алгоритма для решения конкретной задачи является неформальной проблемой и определяется: соответствием ре­альной группировки объектов критериям качества разбиения объектов по классам, заложенным в алгоритме. В лю­бом случае качество работы алгоритма оценивается экс­пертом-специалистом.

Пример алгоритма автоматической классификации.

В основе алгоритма АК Форэл–1 лежит анализ окрестности объекта и вычисление характеристик совокупности объектов, попавших в эту окрестность.

Исходными данными алгоритма являются управляющий параметр алгоритма (порог R) и исходное множество S.

Работа алгоритма состоит в следующем:

Шаг 1. Задаются исходное множество допустимых объектов S_iS, i=1,..., m, и радиус R гиперсферы.

Шаг 2. Любой объект S_iS назначается центром Z₁(1) (эталоном) этой гиперсферы Q₁ и определяются объекты, входящие в гиперсферу, т.е._. S_j Q₁.

Шаг 3. Переопределяется центр гиперсферы как усредненный центр

(1.4)

объектов, вошедших на предыдущем шаге в гиперсферу через формулу

, где m₁ – число объектов,

попавших в гиперсферу Q₁ ; S_j – объекты гиперсферы Q₁.

Шаг 4. Вновь определяются объекты S_iS, для которых, как и на предыдущем шаге,

 (Z₁ (2), S_j)=Z₁ (2)-S_j R, j=1, 2,..., m.

Шаг 5. Процедуры шагов 3, 4 повторяются до тех пор, пока не перестанут изменяться координаты центра тяжести (усредненного центра). Очевидно, при этом гиперсфера остановится в области одного из локальных максимумов плотности объектов исходного множества S. Гиперсфера с центром Z₁ представляет собой кластер K₁.

Шаг 6. Из исходного множества S исключаются объекты S_jK₁, т.е. входящие в кластер K₁. Объекты, через которые гиперсфера проходила на своем пути к конечному положению, к моменту остановки гиперсферы исключаются из нее, сохраняются, т.е. после формирования кластера K₁ исходное множество сокращается на число m₁, т.е. S^=S \ S(K₁).

Шаг 7. Если итерация не последняя или множество не распределено по кластерам полностью, процедура построения кластера повторяется с шага 2, в качестве первоначального центра выбирается объект S_iS^.

Таким образом, процедура выделения кластеров K_j повторяется до тех пор, пока все исходное множество S не будет разделено на кластеры K_j, j=1, 2,..., l, представленные центрами гиперсфер радиуса R. Очевидно, что величина l есть некоторая функция от радиуса R, l=f (R), т.е. в зависимости от величины R получается разное число l.

Применение алгоритма Форэл–1 для ряда последовательных значений R позволяет оценить наиболее предпочтительное число классов для данного множества S. При этом основанием для выбора числа классов может служить многократное повторение одного и того же числа классов для нескольких последовательных значений R.

На основе алгоритма Форэл–1 можно построить семейство алгоритмов, целью которых является разбиение совокупности объектов S на заданное число классов более сложной формы.

Оптимизационную процедуру можно проводить, изменяя значение параметра R с подключением разного вида функционалов. Естественно при различных значениях радиуса R можно получить разное число классов и по экстремальному значению выбранного функционала можно фиксировать оптимальный результат.

4