4. Оптимизационные экономико-математические модели

4.1. Общая задача оптимизации

В экономике оптимизационные задачи возникают в связи с многочисленностью возможных вариантов функционирования предприятия, когда возникают ситуации выбора варианта, наилучшего по некоторому правилу или критерию, характеризуемому соответствующей целевой функцией (например, иметь минимум затрат, максимум продукции).

Отличительной особенностью оптимизационных моделей является наличие условия нахождения оптимального решения (критерия оптимальности), которое записывается в виде функционала. Эти модели при определенных исходных данных задачи позволяют получить множество решений, удовлетворяющих условиям задачи, и обеспечивают выбор оптимального решения, отвечающего критерию оптимальности.

В общем виде математическая постановка задачи математического программирования состоит в определении наибольшего или наименьшего значения целевой функции при ограничениях

, где и - заданные функции, - некоторые заданные числа, а - переменные, определяемые экономическое содержание задачи.

Задачи математического программирования делятся на задачи линейного и нелинейного программирования.

Если все функции и линейные, то соответствующая задача является задачей линейного программирования (ЗЛП), в противном случае перед нами задача нелинейного программирования (ЗНП).

В общем виде задача линейного программирования ставится следующим образом: найти вектор максимизирующий линейную форму

141Equation Chapter 1 Section 4 242\* MERGEFORMAT (.)

и удовлетворяющий условиям

343\* MERGEFORMAT (.)

444\* MERGEFORMAT (.)

Линейная функция (4.1) называется целевой функцией задачи.

Условия (4.2) называют функциональными, а (4.3) – прямыми ограничениями задачи.

Вектор , компоненты которого удовлетворяют условиям (4.2 - 4.3), будем называть планом или допустимым решением ЗЛП.

Все допустимые решения образуют область определения ЗЛП, или область допустимых решений Допустимое решение, максимизирующие целевую функцию (1), называют оптимальным планом задачи

545\* MERGEFORMAT (.)

где - оптимальное решение ЗЛП.

На практике хорошо себя зарекомендовали оптимизационные модели определение:

• оптимальной производственной программы;

• оптимального смешения компонентов;

• оптимального раскроя;

• оптимального размещения предприятия некоторой отрасли на определенной территории;

• формирования оптимального портфеля ценных бумаг;

• транспортной задачи.

Для решения ЗЛП применяется метод последовательно улучшения плана, или симплекс-метод, который состоит из двух вычислительных процедур: симплекс-метода с естественным планом и симплекс-метода с искусственным планом (М-метод).

Выбор конкретной вычислительной процедуры осуществляется после приведения исходной задачи к каноническому виду (КЗЛП) [13]:

646\* MERGEFORMAT (.)

Будем считать, что ЗПЛ записана в канонической форме, если ее целевая функция максимизируется, ограничения имеют вид равенств с неотрицательной правой частью и все переменные не отрицательные.