29.Правило Лопиталя.
Теорема:
Предел
отношения двух бесконечно малых или
бесконечно больших функций равен пределу
отношения их производных (конечному
или бесконечному), если последний
существует в указанном смысле. Итак,
если имеется неопределенность вида
INCLUDEPICTURE "http://www.math24.ru/images/8lim1.gif" \*
MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE
"http://www.math24.ru/images/8lim1.gif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "http://www.math24.ru/images/8lim1.gif" \*
MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE
"http://www.math24.ru/images/8lim1.gif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "http://www.math24.ru/images/8lim1.gif" \*
MERGEFORMATINET
или
INCLUDEPICTURE "http://www.math24.ru/images/8lim2.gif" \*
MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE
"http://www.math24.ru/images/8lim2.gif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "http://www.math24.ru/images/8lim2.gif" \*
MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE
"http://www.math24.ru/images/8lim2.gif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "http://www.math24.ru/images/8lim2.gif" \*
MERGEFORMATINET
,
то INCLUDEPICTURE "http://www.math24.ru/images/8lim8.gif"
\* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE
"http://www.math24.ru/images/8lim8.gif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "http://www.math24.ru/images/8lim8.gif" \*
MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE
"http://www.math24.ru/images/8lim8.gif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "http://www.math24.ru/images/8lim8.gif" \*
MERGEFORMATINET
.
30.Экстремумы функций одной независимой. Необходимые и достаточные условия существования экстремумов.
Точка х0 называется точкой максимума функции f(x), если в некоторой окрестности точки х0 выполняется неравенство f(x)=<f(x0)
Точка х1 называется точкой минимума функции f(x), если в некоторой окрестности точки х1 выполняется неравенство f(x)>=f(x1).
Максимум и минимум функции объединяются общим названием экстремума функции.
Необходимое условие экстремума: чтобы функция y=f(x) имела экстремум в точке х0, необходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю (f’(x0)=0) или не существовала. (точки в которых выполнено это условие называются критическими)
Достаточные условия:
1. Если при переходе через критическую точку, первая производная меняет знак, то в данной точке функция имеет экстремум.
а)
если
меняет знак с "+" на "-", то
максимум
б) если меняет знак с "-" на "+", то минимум
2. Если первая производная f’(x) дважды дифференцируемой функции равна нулю в некоторой точке х0, а вторая производная в этой точке:
а) положительна, то минимум
б) отрицательна, то максимум.
31.Вогнутость и выпуклость функций, точки перегиба функций.
Определения:
Функция y=f(x) называется выпуклой вниз (вогнутой) на промежутке Х, если для любых двух значений х1,х2 ϵ X из этого промежутка выполняется неравенство f((x1+x2)/2) =<(f(x1) +f(x2))/2.
Функция называется выпуклой вверх на промежутке Х, если для любых двух значений х1,х2 ϵ X из этого промежутка выполняется неравенство f((x1+x2)/2) >=(f(x1) +f(x2))/2.
INCLUDEPICTURE
"http://stu.sernam.ru/archive/arch.php?path=../htm/book_msh/files.book&file=msh_154.files/image1.gif"
\* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE
"http://stu.sernam.ru/archive/arch.php?path=../htm/book_msh/files.book&file=msh_154.files/image1.gif"
\* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE
"http://stu.sernam.ru/archive/arch.php?path=../htm/book_msh/files.book&file=msh_154.files/image1.gif"
\* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE
"http://stu.sernam.ru/archive/arch.php?path=../htm/book_msh/files.book&file=msh_154.files/image1.gif"
\* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE
"http://stu.sernam.ru/archive/arch.php?path=../htm/book_msh/files.book&file=msh_154.files/image1.gif"
\* MERGEFORMATINET
Теоремы:
Функция выпукла вверх (вниз) на промежутке Х тогда и только тогда, когда ее первая производная на этом промежутке монотонно возрастает (убывает)
Если вторая производная дважды дифференцируемой фукции положительна (отрицательна) внутри некоторого промежутка Х, то функция выпукла вниз (вверх) на это промежутке.
Точкой перегиба графика непрерывной функции называется точка, разделяющая интервалы, в которых функция выпукла вниз и вверх.