25.Теорема Ферма.

Если дифференцируемая на промежутке Х функция y=f(x) достигает наибольшего или наименьшего значения во внутренней точке х0 этого промежутка, то производная функции в этой точке равна нулю, т.е. f’(x0)=0.

Геометрический смысл теоремы: в точке наибольшего или наименьшего значения, достигаемого внутри промежутка Х, касательная к графику функции параллельна оси абсцисс.

26.Теорема Ролля.

Пусть функция y=f(x) удовлетворяет следующим условиям:

1. непрерывна на отрезке [a,b];

2. дифференцируема на интервале (a,b);

3. на концах отрезка принимает равные значения, т.е. f(a)=f(b)

Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна такая точка Е ϵ(a,b), в которой производная функция равна нулю: f’(Е) = 0.

y

Отметим геометрический смысл: найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к графику функции будет параллельна оси абсцисс; в этой точке производная и будет равна нулю.

Если f(a)=f(b)=0, то теорему Роля можно сформулировать так: между двумя последовательными нулями дифференцируемой функции имеется хотя бы один нуль производной.

27.Теорема Лагранжа.

Пусть функция y=f(x) удовлетворяет следующим условиям:

1) непрерывна на отрезке [a,b];

2. дифференцируема на интервале (a,b);

Тогда внутри отрезка существует по крайне мере одна такая точка Е ϵ(a,b), в которой производная равна частному от деления приращения функции на приращение аргумента на этом отрезке, т.е.

f’(E)=(f(b)-f(a))/(b-a)

Механический смысл: существует хотя бы одна точка внутри отрезка такая, что скорость изменения функции в ней равна средней скорости изменения функции на этом отрезке.

Геометрический

Если перемещать прямую АВ параллельно начальному положению, найдется хотя бы одна точка Е ϵ(a,b), в которой касательная к графику f(x) и хорда АВ, проведенная через концы дуги АВ, параллельны.

Следствие: Если производная функции f(x) равна нулю на некотором промежутке Х, то функция тождественно постоянна на этом промежутке.

28.Теорема Коши.

Пусть функции y = f(x), y = g(x) непрерывны на отрезке и дифференцируемы на интервале (a, b), причем g ' (x) ≠ 0 на (a, b).

Тогда существует число c INCLUDEPICTURE "http://vm.psati.ru/online-math-sem-1/pics/symbol_isin.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://vm.psati.ru/online-math-sem-1/pics/symbol_isin.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://vm.psati.ru/online-math-sem-1/pics/symbol_isin.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://vm.psati.ru/online-math-sem-1/pics/symbol_isin.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://vm.psati.ru/online-math-sem-1/pics/symbol_isin.gif" \* MERGEFORMATINET (a,b) такое, что  INCLUDEPICTURE "http://vm.psati.ru/online-math-sem-1/pics/4-3-05.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://vm.psati.ru/online-math-sem-1/pics/4-3-05.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://vm.psati.ru/online-math-sem-1/pics/4-3-05.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://vm.psati.ru/online-math-sem-1/pics/4-3-05.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://vm.psati.ru/online-math-sem-1/pics/4-3-05.gif" \* MERGEFORMATINET

(Графика не нашла)