19.Общая схема нахождения производных функций.

Вычисление производной функции у = f(x) производится по следующей схеме:  1) Находим приращение функции на отрезке :  2) Делим приращение функции на приращение аргумента:  3) Находим предел устремляя к нулю. Переход к пределу мы будем записывать с помощью знака lim: 2. Примеры вычисления производных по определению 1. Производная линейной функции. а) у = С — постоянная функция. Так как отношение постоянно и равно нулю, то производная у тоже равна нулю: у' = 0.  Итак, производная постоянной равна нулю: С' = 0. б) у = ах + b — линейная функция.

20.Правило дифференцирования сложной функции.

Дифференциалом функции называется главная часть приращения функции, линейная относительно x

21.Логарифмическое дифференцирование.

Логарифмическим дифференцированием называется метод дифференцирования функций, при котором сначала находится логарифм функции, а затем вычисляется производная от него. Такой прием позволяет эффективно вычислять производные степенных и рациональных функций.  Рассмотрим этот подход более детально. Пусть дана функция y = f(x). Возьмем натуральные логарифмы от обеих частей: Теперь продифференцируем это выражение как сложную функцию, имея ввиду, что y - это функция от x. Отсюда видно, что искомая производная равна

Пример 1

Вычислить производную функции  . Решение. Применяем логарифмическое дифференцирование:

Пример 2

Найти производную функции  . Решение. Прологарифмируем обе части и затем продифференцируем.

22.Дифференцирование неявных функций.

Неявной называется та функция, в которой трудно выделить «y»

1.Дифференцируют F(x;y) =0 по х, рассматривают у как функцию от х

2.из полученного уравнения находят производную у

Пример,

2*х+2*у*у’ =0

У’=-х\у

23.Производные высших порядков.

Производная у'=ƒ'(х) функции у=ƒ(х) есть также функция от х и называется производной первого порядка.

Если функция ƒ'(х) дифференцируема, то ее производная называется производной второго порядка и обозначается у"

Итак, у"=(у')'.

Производной n-го порядка (или n-й производной) называется производная от производной  (n-1) порядка:

y⁽ⁿ⁾=(y^(n-1))¢ .

Производные порядка выше первого называются производными высших порядков.

Производные высших порядков неявно заданной функции

Пусть функция у=ƒ(х) задана неявно в виде уравнения F(x;y)=0.

Продифференцировав это уравнение по х и разрешив полученное уравнение относительно у', найдем производную первого порядка (первую производную). Продифференцировав по х первую производную, получим вторую производую от неявной функции. В нее войдут х,у,у¢ . Подставляя уже найденное значение у' в выражение второй производной, выразим у" через х и у. Аналогично поступаем для нахождения производной третьего (и дальше) порядка.

Производные высших порядков от функций, заданных параметрически

Пусть функция у=ƒ(х) задана параметрическими уравнениями

INCLUDEPICTURE "http://www.znannya.org/images/math/lect/lect1-19-pic/lect1958.jpg" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.znannya.org/images/math/lect/lect1-19-pic/lect1958.jpg" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.znannya.org/images/math/lect/lect1-19-pic/lect1958.jpg" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.znannya.org/images/math/lect/lect1-19-pic/lect1958.jpg" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.znannya.org/images/math/lect/lect1-19-pic/lect1958.jpg" \* MERGEFORMATINET

Как известно, первая производная у'х находится по формуле (23.1)

INCLUDEPICTURE "http://www.znannya.org/images/math/lect/lect1-19-pic/lect1959.jpg" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.znannya.org/images/math/lect/lect1-19-pic/lect1959.jpg" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.znannya.org/images/math/lect/lect1-19-pic/lect1959.jpg" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.znannya.org/images/math/lect/lect1-19-pic/lect1959.jpg" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.znannya.org/images/math/lect/lect1-19-pic/lect1959.jpg" \* MERGEFORMATINET

Найдем вторую производную от функции заданной параметрически. Из определения второй производной и равенства (23.1) следует, что

INCLUDEPICTURE "http://www.znannya.org/images/math/lect/lect1-19-pic/lect1960.jpg" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.znannya.org/images/math/lect/lect1-19-pic/lect1960.jpg" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.znannya.org/images/math/lect/lect1-19-pic/lect1960.jpg" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.znannya.org/images/math/lect/lect1-19-pic/lect1960.jpg" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.znannya.org/images/math/lect/lect1-19-pic/lect1960.jpg" \* MERGEFORMATINET

INCLUDEPICTURE "http://www.znannya.org/images/math/lect/lect1-19-pic/lect1961.jpg" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.znannya.org/images/math/lect/lect1-19-pic/lect1961.jpg" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.znannya.org/images/math/lect/lect1-19-pic/lect1961.jpg" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.znannya.org/images/math/lect/lect1-19-pic/lect1961.jpg" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.znannya.org/images/math/lect/lect1-19-pic/lect1961.jpg" \* MERGEFORMATINET