Бесконечно малые функции и их основные свойства.
Функция 
называется бесконечно
малой функцией (б.м.ф.) при
(или
в точке
),
если
Основные свойства бесконечно малых функций
1° Сумма конечного числа б.м функций является функцией б.м.
2° Произведение б.м функции на ограниченную есть функция б.м.
3° Произведение двух б.м функций есть функция б.м.
4° Произведение б.м функции на константу является б.м функцией.
5° Частное от деления б.м функции на функцию, предел которой не равен нулю, есть функция б.м.
6°
Функция 
,
обратная к б.м функции 
,
есть функция бесконечно большая. Верно
и обратное.
Бесконечно большие функции и их основные свойства.
Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями.
Раскрытие некоторых типов неопределенностей.
Неопределенности типа 
Пусть заданы две функции f (x) и g (x), такие, что
В этом
случае говорят, что функция 
имеет
неопределенность типа
в
точке x
= a.
Чтобы найти предел при x
= a когда
функция
содержит
неопределенность
,
нужно разложить на множители числитель
и/или знаменатель и затем сократить
члены, стремящиеся к нулю.
Примечание:
В данном разделе при вычислении пределов
не используется правило
Лопиталя.
Неопределенности типа 
Пусть две функции f (x) и g (x) обладают свойством
где a является действительным числом, либо стремится к + ∞ или − ∞. Говорят, что в этом случае функция имеет в точке a неопределенность типа . Для вычисления предела в этой точке необходимо разделить числитель и знаменатель на x в наивысшей степени.
12.1-й 2-й замечательные пределы.
Первый замечательный предел:
Предел отношения синуса к его аргументу равен единице в случае, когда аргумент стремится к нулю.
Он
вида 
Следствия из первого замечательного предела:
1° 
2° 
3° 
4° 
Второй замечательный предел:
Он
вида 
Следствия из второго замечательного предела
1° 
2° 
3° 
4° 
13.Односторонние пределы функции.
Односторонний предел- предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левым и правым пределами
Обозначение ха означает что нужно найти предел стремящийся к а справа, соответственно при х а, что нужно найти предел при х стремящимся к а слева.
Пример,
ГРАФИК ВСТАВИТЬ!
14.Непрерывность функции. Виды разрывов функции.
Функция непрерывна в точке, если:
Функция в точке определенная
Есть предел функции в точке
Предел функции равен ее значению
Если не выполняется хотя бы одно условие, то функция в точке разрывна
Виды разрывов:
Устранимые: если функция в точке не определена, но есть ее предел в точке
Разрыв первого рода(скачок функций): если функция в точке имеет 2 односторонних предела и они равны, то она имеет предел в точке
Разрыв второго рода: тогда, когда хотя бы 1 из односторонних пределов не существует(1\х или 1\(е^(x+1))).
15.Сравнение порядков бесконечно малых функций.
Функции
INCLUDEPICTURE
"http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1320.png"
\* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE
"http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1320.png"
\* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE
"http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1320.png"
\* MERGEFORMATINET
и INCLUDEPICTURE
"http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1344.png"
\* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE
"http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1344.png"
\* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE
"http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1344.png"
\* MERGEFORMATINET
называются бесконечно малыми одного
порядка при INCLUDEPICTURE
"http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1259.png"
\* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE
"http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1259.png"
\* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE
"http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1259.png"
\* MERGEFORMATINET
,
если INCLUDEPICTURE
"http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1345.png"
\* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE
"http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1345.png"
\* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE
"http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1345.png"
\* MERGEFORMATINET
Если,
INCLUDEPICTURE
"http://www.znannya.org/images/math/lect/lect1-16-pic/lect1623.gif"
\* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE
"http://www.znannya.org/images/math/lect/lect1-16-pic/lect1623.gif"
\* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE
"http://www.znannya.org/images/math/lect/lect1-16-pic/lect1623.gif"
\* MERGEFORMATINET
=0,
то α называется бесконечно малой более
высокого порядка , чем ß.
Если INCLUDEPICTURE "http://www.znannya.org/images/math/lect/lect1-16-pic/lect1623.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.znannya.org/images/math/lect/lect1-16-pic/lect1623.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.znannya.org/images/math/lect/lect1-16-pic/lect1623.gif" \* MERGEFORMATINET =∞, то α называется бесконечно малой более низкого порядка, чем ß.
Если INCLUDEPICTURE "http://www.znannya.org/images/math/lect/lect1-16-pic/lect1623.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.znannya.org/images/math/lect/lect1-16-pic/lect1623.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.znannya.org/images/math/lect/lect1-16-pic/lect1623.gif" \* MERGEFORMATINET не существует, то α и ß называются несравнимыми бесконечно малыми.