32.Необходимые и достаточные условия существования точек перегиба функции.

Необходимое условие перегиба: Вторая производная f”(х) дважды дифференцируемой функции в точке перегиба х0 равна нулю, т.е. f”(х)=0.

Достаточное условие перегиба: Если вторая производная f”(х) дважды дифференцируемой функции при переходе через некоторую точку х0 меняет свой знак, то х0 есть точка перегиба ее графика.

INCLUDEPICTURE "http://www.bgsha.com/ru/learning/images/matematika_yakovenko/2/3/4/42.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.bgsha.com/ru/learning/images/matematika_yakovenko/2/3/4/42.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.bgsha.com/ru/learning/images/matematika_yakovenko/2/3/4/42.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.bgsha.com/ru/learning/images/matematika_yakovenko/2/3/4/42.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.bgsha.com/ru/learning/images/matematika_yakovenko/2/3/4/42.png" \* MERGEFORMATINET

СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ НА ВЫПУКЛОСТЬ И ТОЧКИ ПЕРЕГИБА

Найти вторую производную функции f”(х)
Найти точки, в которых вторая производная f”(х)=0 или не существует
Исследовать знак второй производной слева и справа от найденных точек и сделать вывод об интервалах выпуклости и наличии точек перегиба
Найти значение функции в точках перегиба

33.Выпуклость и вогнутость графика функции в точке (аналитический признак).

34.План исследования и построения графиков функций.

Алгоритм:

1. Определить область определения функции (ООФ)

2. Найти точки пересечения с осями

С осью Ox. Найти y(0)
С осью Oy. Приравнять функцию к 0.

3. Определить четность и нечетность функции.

f(x)=f(-x) Функция четная
f(-x)=-f(x) Функция нечетная
В остальных случаях функция общего вида

4.Найти ассимптоты (прямые к которым график приближается, но никогда не пересечет)

Вертикальная x=а

Lim(xa+) f(x)

Lim(xa-) f(x)

Если оба предела равны бесконечности то x=a – вертикальная ассимптота

Наклонные y=kx+b

k= Lim(xбесконечности) f(x)\x

b= Lim(xбесконечности) (f(x)-kx)

Горизонтальные (частный случай наклонной)

Если k=0, то y=b горизонтальная ассимптота

5.Найти промежутки монотонности и точки экстремума

Найти y’
Приравнять y’ к 0. Найти корни уравнения.
Отобразить корни уравнения на числовой прямой (включая ассимптоты)
Посчитать знак функции в промежутках
Определить промежутки возрастания и убывания, точки максимума и минимума функции

6. Определить выпуклость, вогнутость, точки перегиба.

Найти y”
Приравнять y” к 0. Найти корни уравнения.
Отобразить корни уравнения на числовой прямой (включая ассимптоты)
Посчитать знак функции в промежутках
Определить промежутки выпуклости и вогнутости функции и точки перегиба

7.Дополнительные точки.

8. Построить график функции.

35.Первообразная функции. Неопределенный интеграл и его свойства.

Первообразная F(x) для у=f(x) называется такая функция, что F’(х)=f(x)

Неопределенный интеграл функции f(x) называется семейство первообразных

Свойства неопределенных интегралов:

ИНТЕГРАЛ СУММЫ РАВЕН СУММЕ ИНТЕГРАЛОВ!!!!!

Замечания:

Интегрирование значительно сложнее дифференцирования он не является механическим, требует большой практики и изобретательности
Интегрирование-действие обратное дифференцированию, поэтому его всегда можно проверить
Некоторые обратные действия в математике неоднозначны и не всегда выполнимы, поэтому существуют не берущиеся интегралы

36.Интегралы от основных элементарных функций.