Понятие функции. Способы задания функций. Классификации функций.
Функция (отображение, оператор, преобразование) — математическое понятие, отражающее связь между элементами множеств.
Функция f (отображение, операция, оператор) — это закон или правило, согласно которому каждому элементу x из множества X ставится в соответствие единственный элемент y из множества Y.
Способы задания функции:
Аналитический способ
Чаще всего закон, устанавливающий связь между аргументом и функцией, задается посредством формул.
Этот способ дает возможность по каждому численному значению аргумента x найти соответствующее ему численное значение функции y точно или с некоторой точностью.
Если зависимость между x и y задана формулой, разрешенной относительно y, т.е. имеет вид y = f(x), то говорят, что функция от x задана в явном виде.
Если же значения x и y связаны некоторым уравнением вида F(x,y) = 0, т.е. формула не разрешена относительно y, что говорят, что функция y = f(x) задана неявно.
Графический способ
Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению.
Графический способ задания функции не всегда дает возможность точно определить численные значения аргумента. Однако он имеет большое преимущество перед другими способами - наглядность. В технике и физике часто пользуются графическим способом задания функции, причем график бывает единственно доступным для этого способом.
Чтобы графическое задание функции было вполне корректным с математической точки зрения, необходимо указывать точную геометрическую конструкцию графика, которая, чаще всего, задается уравнением.
Табличный
Довольно распространенный, заключается в задании таблицы отдельных значений аргумента и соответствующих им значений функции. Такой способ задания функции применяется в том случае, когда область определения функции является дискретным конечным множеством.
При табличном способе задания функции можно приближенно вычислить не содержащиеся в таблице значения функции, соответствующие промежуточным значениям аргумента.
Преимущества табличного способа задания функции состоят в том, что он дает возможность определить те или другие конкретные значения сразу, без дополнительных измерений или вычислений. Однако, в некоторых случаях таблица определяет функцию не полностью, а лишь для некоторых значений аргумента и не дает наглядного изображения характера изменения функции в зависимости от изменения аргумента.
Область определения функции. Четность и периодичность функций.
Область определения функции — множество, на котором задаётся функция.
обозначается 
,
все возможные значения х
Четной называется функция, которая не меняет своего значения при изменении знака независимой переменной (график такой функции симметричен относительно оси ординат):
(f(-x)=f(x).)
Нечетной называется функция, которая меняет свое значение при изменении знака независимой переменной (график такой функции симметричен относительно начала координат): f(-x)=-f(x).
Индифферентной называется функция, которая не обладает симметрией- общего вида
Синус
\(\sin x\) - нечетная функция
\(\sin (-x)=-\sin x\)
Косинус
\(\cos x\) - четная функция
\(\cos (-x)=\cos x\)
Тангенс- нечетная функция
Tg (-x)=-tg(x)
Котангенс- нечетная функция
ctg(-x)=-ctg(x)
Периодичность тригонометрических функций
Периодической называется функция, которая повторяет свои значения через какой-то регулярный интервал, то есть не меняющая своего значения при добавлении к аргументу фиксированного ненулевого числа (периода функции): существует такое ненулевое число \(T\) (период), что на всей области определения функции выполняется равенство \(f(x)=f(x+T).\)
Тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс, котангенс) являются периодическими.
(sin x; cos x) - периодические функции с наименьшим положительным периодом \(2\pi:\)
(sin(x+2k\pi)=sin x; cos(x+2k\pi)=cos x.
(\text{tg}x,\;\text{ctg}x\) - периодические функции с наименьшим положительным периодом \(\pi:\)