6. Uveďte 4 možné výsledky řešení modelů lineárního programování a znázorněte je graficky V prostoru řešení

1. Optimální řešení neexistuje

1. Model nemá žádné přípustné řešení -> nemá řešení

2. Model má přípustné řešení, ale hodnota účelové funkce může neomezeně růst nebo klesat

1. Optimální řešení existuje

3. Model má právě jedno optimální řešení

4. Model má nekonečně mnoho optimálních řešení

O br1 – úloha nemá řešení:

O br2 – úloha má nekonečně mnoho řešení:

O br3- úloha má jedno optimální řešení:

Obr4- Úloha nemá konečné optimální řešení, účelová funkce může na neomezené množině přípustných řešení nabývat libovolně velkých hodnot:

Téma 2: Grafické řešení modelu LP v prostoru požadavků. Bázická a nebázická řešení

1. Uveďte a stručně komentujte základní vlastnosti modelů lineárního programování

• Linearita

  • Aditivita (sčitatelnost)

  • Spojitost

  • Neomezená záměna faktorů

  • Libovolná dělitelnost

• Deterministický charakter: charakter náhodných proměnných

• Statický charakter: neobsahuje charakter náhodných proměnných

2. Charakterizujte pojmy: „přípustné řešení“, „optimální řešení“, „alternativní řešení“, „suboptimální řešení“ V kontextu modelů lineárního programování.

Přípustné řešení= výsledky, u kterých jsou splněny všechny omezující podmínky a podmínky nezápornosti (ale nemusí být tím nejlepším řešením)

Optimální řešení= Řešení, které nejlépe vyhovuje zadanému cíli. Je to takové řešení, kterým přechodem na jiné přípustné řešení už není možné zvýšit hodnotu účelové fce, může být jediné nebo alternativní

• = přípustné řešení, které maximalizuje nebo minimalizuje účelovou funkci

Alternativní řešení= V případě, že úloha LP nemá jednoznačné řešení, ale má

jich nekonečně mnoho, jedná se o alternativní řešení

• = když je alespoň jeden z koeficientů u nezákladních proměnných roven nule

Suboptimální (nepřesné) řešení= které získáme z obecného řešení, jestliže alespoň jedné z nezákladních (nebazických) proměnných xj přiřadíme určitou kladnou hodnotu

• = Je to takové řešení, které vznikne zařazením nezákladní proměnné do řešení. Hodnota účelové funkce se vždy zhorší=> při maximalizaci se zmenší, při minimalizaci se zvětší

3. Co je to bázické a nebázické řešení modelu lineárního programování? Jak se bázické řešení reprezentuje graficky?

Bázické (základní) řešení= vektorový prostor

• Takové řešení, kdy všechny nebázické proměnné jsou rovny 0 a hodnoty bazických proměnných jsou pak jednoznačně určeny ze soustavy

• Takové řešení, ve kterém nejvýše m proměnných nabývá kladné hodnoty. Tyto proměnné označujeme bazické. V matici soustavy jim přísluší jednotkové vektory a nabývají hodnot odpovídající složky vektoru pravých stran

• vektor, jehož nenulové složky odpovídají bazickým vektorům=> nebazické jsou tedy rovny 0

• Má-li úloha LP přípustné řešení, má i přípustné bázické řešení.

• Má-li úloha LP optimální řešení, má i optimální bázické řešení.

• Má-li úloha LP více než jedno optimální bázické řešení, je optimálním řešením i jejich lineární konvexní kombinace.

Nebázické řešení= takové řešení, kdy se za nebazické proměnné položí určité hodnoty a získají se konkrétní hodnoty i pro bazické proměnné.

• Nevím přesně co po nás chtějí tím jak se bazické řešení reprezentuje graficky, ale v grafu jsou bazickým řešením, podle mě, ty proměnné, které vyšly jako optimální řešení…

4. Co je to degenerované řešení modelu lineárního programování? Jak se degenerované řešení reprezentuje graficky? 

Degenerované řešení= takové řešení, kde alespoň jedna z bazických proměnných má nulovou hodnotu. Takové řešení obsahuje více než n-m nulových složek

• Pokud je počet nenulových položek menší než počet nezávislých rovnic

5. K čemu slouží „základní věty lineárního programování“? Jaké mají důsledky pro hledání optimálního řešení modelu LP? 

Základní věty LP:

• Optimální řešení úlohy LP leží vždy na hranici množiny přípustných řešení.

• Má-li úloha LP přípustné řešení, má i přípustné bázické řešení.

• Má-li úloha LP optimální řešení, má i optimální bázické řešení.

• Má-li úloha LP více než jedno optimální bázické řešení, je optimálním řešením i jejich lineární konvexní kombinace

6. Uveďte 4 možné výsledky řešení modelů lineárního programování a znázorněte je graficky v prostoru požadavků.

1. Model nemá přípustné řešení (MINIMALIZAČNÍ ÚLOHA)

2. Model má právě jedno optimální řešení (MINIMALIZAČNÍ ÚLOHA)

3. Alternativní optimální řešení (MINIMALIZAČNÍ ÚLOHA)

4. Model má přípustné řešení, ale hodnota účelové funkce může neomezeně růst nebo klesat (MAXIMALIZAČNÍ ÚLOHA)

7. Uveďte, jak v prostoru požadavků určíte přípustné řešení modelu lineárního programování a jak vyberete řešení optimální. Dokumentujte rovněž graficky. 

P okud jde o MIN. nákladů

• Hledám 2 proměnné x, které mi protnou přímku b

• V grafu je více přípustných řešení, například x4, x1 (podmínka protnutí přímky b je tu splněna), další přípustné řešení jsou znázorněny v grafu ->

• Jako přípustné řešení se nebere například x1,x3 (neprotínají přímku b)

• Pokud chci najít optimální řešení pro MIN., musím najít proměnné x, které jsou nejdále od 0 => v tomto grafu to je X2,X3

• Optimálním řešením může být ale také jen jedna z proměnných

Téma 3: Simplexový algoritmus