1. Алгебра логики (высказывания и предикаты).
1.1. Понятие алгебраической системы.
Пусть
есть множество
,
тогда декартова n-ая
степень множество А есть множество
упорядоченных наборов по n
элементов:
,где
(is
N).
- упорядоченный набор. Причём порядок
в наборе имеет значение, т.е.
.
Введём
n-местное отношение R
на определённом множестве А есть
подмножество n-степени
множества A:
(n>0). Любое подмножество
множества А есть отношение.
Введём
n-местную операцию на
множестве А – называется любое отображение
декартовой степени множества А на
множество А:
(n≥0).
-
нольместая операция, есть const
равная одному из элементов множества.
Каждому упорядоченному набору соответствует элемент из множества А.
Алгебраическая
система
на множестве A – есть
множество из совокупности трёх множеств:
множество А – является носителем алгебраической системы;
- Множество отношений, определённых
на множестве А;
- Множество операций, определённых
на множестве А.
, где
,
.
Если
алгебраическая система не имеет множества
отношений, то её называют алгеброй
,
а если отсутствует множество операций,
то это система называется модель
.
1.2. Примеры алгебраических систем.
Множество действительных чисел с операциями сложения и умножения {R, {·, +}};
Множество целых чисел с операциями сложения и умножения {Z,{ ·, +}};
Множество рациональных чисел с операциями сложения и умножения {Q, {·, +}};
Множество натуральных чисел с операциями сложения и умножения {N,{ ·, +}};
Множество векторов c операцией сложения
,
(a, b)
, a, b
R.
С операцией сложения определённой на плоскости
Алгебра подмножеств:
Пусть A – множество, рассмотрим множество всех подмножеств множества A:
Можно ввести алгебру операций:
- пересечение;
- объединение;
¬ - дополнение.
Алгебра подграфов:
- F – полный граф
Есть полный граф – это совокупность 2-х множеств: вершин и ребер, соединяющих эти вершины.
Если множество вершин графа является подмножеством множества F, а множество ребер является подмножеством множества F – это подграф.
Рассмотрим множество всех его подграфов P(F) введя операции сложения, вычитания и дополнения.
{P(F), + , -, ¬}, где “+” – Объединение множества вершин и множества рёбер.
Сложение и вычитание любых подграфов является подграфом.
1.3. Булева алгебра.
Булевой алгеброй называют алгебру, определенной на булевом множестве В с тремя операциями +, · , ¬ и константами 0, 1.
{В, +, · , ¬, 0, 1} – булева алгебра.
Данные операции должны обладать следующими свойствами:
Свойство идемпотентности:
а+а=а , а·а=а
Свойство коммутативности:
a+b=b+a , a·b=b·a
Свойство ассоциативности:
(a+b)+c=a+(b+c) , a·(b·c)=(a·b) ·c
Свойство дистрибутивности:
a+(b·c)=a+b·a+c , a·(b+c)=a·b+a·c
¬¬a=a
a+0=a , a+1=1 , a·0=0, a·1-a
Простейшее булево множество: В={0,1}.
Более сложное: B={00,01,10,11}.
Определим алгебру на множестве {0,1} с операциями следующим образом:
“+”:(a+b+a·b)mod2
“·”: (a·b)mod2
“
”:
(a+1)mod2