2) Парадокс Ришара
Назовем
фразой любую последовательность из
букв русского алфавита или знаков
препинания и пробел. Примеры: «абк», «а
в квадрате», «ХА-ХА». Все фразы могут
быть упорядочены в лексикографическом
порядке «а,б,в,…, ххххх, ….». Некоторые
фразы - скажем, приведенная выше фраза
«а в квадрате»—являются описаниями
одноместных арифметических функций на
русском языке. Вычеркнем теперь из
нашего пересчета все фразы, не являющиеся
такого рода описаниями функций; в
результате получим пересчет
всех таких описаний. Обозначим функции,
описываемые этими фразами, соответственно
через
Рассмотрим теперь следующую фразу:
«Функция, значение которой для любого
данного натурального числа а в качестве
аргумента равно увеличенному на единицу
значению для этого же аргумента той
функции, которая определяется фразой,
соответствующей в только что упомянутом
пересчете этому натуральному числу».
Мы могли бы заменить в этой фразе ее
кусок «в только что упомянутом пересчете»
исчерпывающим описанием точной
конструкции этого самого пересчета,
так что в результате из всей нашей фразы
получилась бы некоторая другая фраза
Р, полностью описывающая ту же самую
функцию. Эта фраза Р описывает некоторую
арифметическую функцию, а именно
.
Следовательно, Р входит в пересчет
,
но это невозможно, так как функция,
описываемая фразой
,
отличается от функции, описываемой
фразой
,
своим значением для
от функции, описываемой
значением для
;
от функции, описываемой
,
значением для
и т. д. Оформим это рассуждение иначе.
Поскольку фраза
входит в пересчет
,
то она имеет в нем некоторый номер
.
Значит, подставляя сюда
вместо
и сравнивая с предыдущим равенством,
приводим к противоречию.
3) Парадокс Бери
Рассмотрим выражение «Наименьшее натуральное число, которое нельзя назвать посредством меньше чем тридцати трех слогов». Это выражение называет некоторое определенное натуральное число - обозначим его через N. Т.к. каждое непустое множество натуральных чисел (в данном случае речь идет о множестве натуральных чисел, которые нельзя назвать посредством меньше чем тридцати трех слогов) имеет наименьший элемент. Согласно своему определению, N нельзя назвать посредством меньше чем тридцати трех слогов. Но ведь наше выражение определяет N, причем с помощью ровно тридцати двух слогов!
4) Парадокс лжеца
«Высказывание, которое я сейчас произношу, ложно». Очевидно, что заключенное в кавычки высказывание не может быть ни истинным, ни ложным.
Открытие парадоксов привело к кризису в математике, т.к. математика была сформулирована на теории множеств. Выход был найден с помощью аксиоматического подхода. Задача состояла в том, чтобы найти универсального математического робота, который с помощью формальных процедур мог дать результат, который когда-либо могла дать математика.
Создаем сигнатуры и какие-то базовые формулы, из которых получается все остальные формулы.
Если использую правила вывода можно вывести формулу либо её отрицание, то теория считается полной.
Если для формулы нельзя вывести ни формулу, ни отрицание, нужно использовать какую-то более полную теорию. В 1931 Гёдель сформулировал теорему о неполноте: «Всякая достаточно полная теория не полна».
Понятия, характеризующие теорию:
Непротиворечивость теории – для любой формулы теории нельзя одновременно доказать формулу и её отрицание;
Полнота – для любой формулы можно вывести либо формулу, либо отрицание;
Разрешимость – теория называется разрешимой, если для каждой формулы после определенного количества шагов, можно сказать является она истинной или ложной.
Примеры полных теорий: геометрия, теория векторных пространств.