6.2 Функции, вычислимые по Тьюрингу.

Пусть имеется некий алфавит .

– множество слов этого алфавита.

Рассмотрим словарную функцию отображающую множество слов алфавита на себя.

f : .

Пусть существует Машина Тьюринга такая, что:

1. Если определено и , то машина Т применима к начальной конфигурации и заключитальной конфигурацией является

2. Если не определена, то машина Т неприменима к начальной конфигурации

Тогда машина вычисляет словарную функцию ; является функцией вычислимой по Тьюрингу.

Чтобы построить машину, вычисляющую числовую функцию необходимо договориться о кодировке чисел. Схема кодировки - способ погружения элементов числового ряда во внешний алфавит МТ.

Простейшей кодировкой является унарная кодировка.

n ∈ N

n = Ι…Ι

n+1 = Ι…ΙΙ

n = Ι соответствует n=0

Рассмотрим машину Т вычисляющую функцию

Набор команд будет следующим

Для функций нескольких переменных в алфавит вводится символ разделитель, например, «*».

Рассмотрим машину Т вычисляющую сумму двух переменных в унарной кодировке.

, Q={ }

Пример вида ленты

Ι

Ι

*

Ι

Ι

Ι

Набор команд машины Т:

6.3. Свойства машин Тьюринга.

Теорема 1. Существование суперпозиции.

Существование суперпозиции МТ. Пусть есть МТ вычисляющая функцию и МТ вычисляющая функцию , тогда существует МТ вычисляющая суперпозицию

Доказательство:

T_f1: А₁, Q₁=

T_f2: А₂, Q₂=

Т огда машину Т можно сконструировать следующим образом:

T_f: А= А₁ А₂, Q=

Конечное состояние первой машины и начальное состояние второй машины объединим в одно состояние.

Переобозначим символы: Q₂= .

Программы машины T_f будут составлены из программ машин и .

Рассмотрим, как будет работать машина T_f:

p

Теорема 2. Машина «ИЛИ».

f(ε,p) = , где ε – постоянная, которая может принимать значения 0 или 1.

Принцип работы:

, при

, ε*p

, при

Доказательство:

Построим такую МТ:

А= А₁ А₂ , Q= , где , .

МТ необходимо дополнить следующими командами:

0 λR и 1 λR

* λR * λR

Прием может быть применен для любых машин Тьюринга и , поэтому он считается универсальным.

Теорема 3. Машина «И».

f(p)

Принцип работы:

= p *

Машина, которая после работы оставляет на ленте оба результата через разделитель.

Доказательство:

А = , где , А₁ А₂, = .

Тогда машина «И» должна будет проходить через следующие фазы:

Машина Тьюринга «И» - это суперпозиция машин , , и .

Теорема 4. Машина Тьюринга, реализующая цикл.

Тогда существует машина, реализующая цикл

Ф(р)=1

: Р Ф( )=0

Ф(р)=0

Ф( )=1 и т.д.

Блок-схема алгоритма:

Таким образом, любую процедуру можн реализовать с помощью МТ. Нельзя придумать такую, чтобы невозможно было реализовать.