2.3. Системи диференціальних рівнянь

Системою диференціальних рівнянь називається сукупність рівнянь, що містять кілька невідомих функцій і їхні похідні.

Розглядаються системи диференціальних рівнянь, що містять стільки рівнянь, скільки невідомих функцій в них входить. При цьому всі невідомі функції є функціями однієї незалежної змінної t.

Обмежимося розглядом систем диференціальних рівнянь спеціального вигляду, які називаються лінійними системами. У випадку двох невідомих функцій x₁(t), x₂(t) лінійна система має вигляд:

(2.42)

де коефіцієнти а_ij, i,j=1,2, будемо вважати постійними.

Розв’язанням системи диференціальних рівнянь (2.42) називається сукупність функцій х₁(t), х₂(t), які під час підстановки в рівняння перевертають їх на тотожності.

2.3.1. Еквівалентність системи двох диференціальних рівнянь першого

порядку та диференціального рівняння другого порядку

Покажемо, що система двох диференціальних рівнянь першого порядку є еквівалентною одному диференціальному рівнянню другого порядку.

Диференціюючи перше рівняння системи (2.44), одержимо:

.

Підставивши в це рівняння значення з другого рівняння системи (2.42), одержимо:

З першого рівняння системи (2.42) функцію х₂ виразимо так:

Підставляючи, нарешті, останній вираз у передостаннє рівняння, одержимо:

(2.43)

Однорідне рівняння, яке відповідає рівнянню (2.43), має вигляд:

(2.44)

Відзначимо, що в правих частинах системи диференціальних рівнянь (2.42) змінної t у явному вигляді немає. Це автономна динамічна система.

Розглянемо тепер лінійне неоднорідне диференціальне рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами вигляду (2.32):

+ а₁ + а₂y=В.

Це рівняння легко привести до вигляду системи двох диференціальних рівнянь першого порядку введенням нової невідомої функції х= . Одержимо систему:

= х,

= В- а₁х  а₂y.

2.3.2. Розв’язання лінійної системи диференціальних рівнянь з

постійними коефіцієнтами

Розглянемо лінійну неоднорідну систему двох диференціальних рівнянь першого порядку з постійними коефіцієнтами вигляду (2.42).

Під час вивчення лінійних систем диференціальних рівнянь зручно використовувати матричні позначення. Умовимося для стислості записувати замість . Введемо такі матриці:

Тоді систему (2.42) можна записати у вигляді одного матричного рівняння

+ D.

Наприклад, система

у матричному записі має вигляд:

.

Згідно з теоремою 1 загальним розв’язоком (x₁(t), x₂(t)) неоднорідної системи лінійних диференціальних рівнянь першого порядку вигляду (2.42) є сума часткового розв’язку (x*, y*) цієї системи і загального розв’язку ( (t,C₁,C₂), (t,C₁,C₂)) відповідної лінійної однорідної системи диференціальних рівнянь вигляду:

(2.45)

Визначимо частковий розв’язок (x*, y*) неоднорідної системи лінійних диференціальних рівнянь (2.42).

Положення рівноваги системи (2.42) (стаціонарна точка) характеризується властивістю . Отже, координати положення рівноваги визначаються з системи алгебраїчних рівнянь

Як розв’язок даної системи, одержимо вектор (x*,y*), який характеризує положення рівноваги динамічної системи і, одночасно, є частковим розв’язком неоднорідної системи лінійних диференціальних рівнянь (2.42), у чому можна переконатися, здійснивши безпосередню перевірку.

Визначимо загальний розв’язок ( (t,C₁,C₂), (t,C₁,C₂)) однорідної системи лінійних диференціальних рівнянь (2.45).

Насамперед помітимо, що система (2.45) має очевидний частковий розв’язок х₁(t)=0, x₂(t)=0. Цей розв’язок називається нульовим. Інтерес викликають, звичайно, ненульові розв’язки. Будемо відшукавати такі розв’язки у вигляді х₁(t) = р₁ , х₂(t)= р₂ або, використовуючи матричний запис

, (2.46)

де  власний вектор матриці з елементами , які одночасно не дорівнюють нулю. При цьому .

Підставивши вирази для Х і в систему рівнянь (2.45), одержимо:

Р = Р ,

а після скорочення обох частин рівняння на одержимо:

AР= Р

або

(2.47)

За теоремою про однорідну систему лінійних рівнянь [26] система має ненульові розв’язки, якщо визначник цієї системи дорівнює нулю. Отже, ця умова дає

або |А - E|=0, (2.48)

де Е – одинична матриця.

Матричне рівняння (2.48) називають характеристичним рівнянням системи (2.49).

Розкриваючи визначник та приводячи подібні складові, матимемо квадратне рівняння вигляду:

(2.49)

Зауваження 2.4. Величина називається слідом матриці коефіцієнтів А і позначається як Tr A. Величина чисельно дорівнює визначникові матриці А, і позначається detA. Отже, рівняння (2.49) можна переписати у вигляді:

(2.50)

Нехай ₁ і ₂  корені характеристичного рівняння (2.50). Числа ₁ і ₂ називаються характеристичними числами системи (2.45), а вектори , – власними векторами, що відповідають числам ₁ і ₂.

Отже, кожному кореню _i відповідає розв’язок (2.46), коефіцієнти якого визначаються з відповідної системи (2.47) з точністю до множника пропорційності.

Як і у випадку диференціального рівняння другого порядку, можливі три випадки:

1. Характеристичні числа ₁, ₂ є дійсними числами, ₁  ₂.

Тоді загальний розв’язок системи (2.45) у матричному вигляді набуває вигляду:

Х(t)= С₁ X₁ + С₂ X₂ , де , (2.51)

де – деякий власний вектор, що відповідає ₁; – власний вектор, що відповідає довільним постійним ₂, С₁, С₂.

2. Характеристичні числа ₁, ₂ …, _n є дійсними числами, ₁= ₂= .

Тоді корені

Х(t)= С₁ X + С₂ t X , де X=P (2.52)

також є коренями однорідної системи рівнянь (2.45).

3. Характеристичні числа ₁, ₂ є комплексно-спряженими числами: _1.2 =  i.

Тоді загальний розв’язок однорідної системи диференціальних рівнянь (2.45) має пару дійсних розв’язків, яку містять функції вигляду:

(С₁ cos (t) + С₂ sin ( t)). (2.53)

Приклад 2.6. У результаті економічного аналізу встановлено, що поведінка динамічної системи залежить від двох змінних x₁(t), x₂(t) і описується системою лінійних диференціальних рівнянь:

(2.54)

Необхідно:

1. дати характеристику системи (2.54);

2. знайти загальний розв’язок системи.

Розв’язання

1. Система (2.54) – це лінійна неоднорідна система двох диференціальних рівнянь першого порядку з постійними коефіцієнтами. Крім того, ця динамічна система автономна (час у явному вигляді в правій частині рівнянь системи відсутній).

Tr A = 2, det A =  1 (див. зауваження 2.4).

2.1. Визначимо частинний розв’язок (стаціонарну точку, точку рівноваги) неоднорідної системи (2.54).

Прирівнявши похідні до нуля, одержимо систему:

 

Отже, частинний розв’язок системи (2.50) має вигляд: =(2, 0).

2.2. Визначимо загальний розв’язок ( (t,C₁,C₂), (t,C₁,C₂)) відповідної однорідної системи диференціальних рівнянь:

(2.55)

Розглянемо два підходи.

2.2.1. Побудуємо відповідне диференціальне рівняння другого порядку.

З першого рівняння системи одержимо:

.

Виразимо функцію з першого рівняння системи (2.55), підставивши це рівняння в друге рівняння однорідної системи, і одержимо:

Отже, диференціальне рівняння другого порядку має вигляд:

Характеристичне рівняння має вигляд:

.

.

Характеристичні числа ₁, ₂ є дійсними числами і не дорівнюють одне одному. Тоді загальний розв’язок однорідного диференціального рівняння, що розглядається, має вигляд (формула 2.37):

. (2.56)

Знайдемо функцію З першого рівняння системи (2.56) . Диференціюючи функцію , одержимо:

.

Отже, функція має вигляд:

= . (2.57)

2.2.2. Визначимо розв’язок системи диференціальних рівнянь (2.57) безпосередньо. Складемо характеристичне рівняння системи

|А  E|=0.

.

Отримуємо характеристичне рівняння (порівняйте з попереднім підходом!)

.

.

Для визначення власних векторів , побудуємо систему лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь:

(2.58)

Підставимо у систему (2.58) значення , тобто

Отже, , де  довільне дійсне число.

Для значення , де  довільне дійсне число.

Таким чином, функції , мають вигляд (порівняйте з (2.56), (2.57)):

.

.

Отже, загальний розв’язок неоднорідної системи (2.51) лінійних диференціальних рівнянь першого порядку має вигляд:

(2.59)

.