2.4. Поняття про різницеві рівняння

У теорії різницевих рівнянь [10-11] передбачається, що показники економічного процесу, що досліджується, визначені в дискретні моменти часу t₁, t₂, ... t_i, … Інтервал часу t_i = t_i+1  t_i, як правило, передбачається постійним для будь-якого i, i=1,..., n….

Доцільність такого розгляду визначається вихідними даними про економічний процес, які часто вимірюються в дискретні моменти часу (офіційна статистика, періодичні опитування, переписи тощо). Інтервалом часу може бути п'ятирічка, рік, квартал, місяць, тиждень тощо.

Якщо інтервал часу стає нескінченно малим (t_i  0), то процес розглядається як неперервний і вивчається за допомогою теорії диференціальних рівнянь.

Поведінка системи в дискретному часі визначається за допомогою різницевого рівняння, яке пов’язує значення економічного показника у, що досліджується, у сусідні моменти часу, тобто у_t+1 і у_t.

Різниця першого порядку має вигляд:

y_t = y_t+1 - y_t,

різниця другого порядку має вигляд

²y_t=y_t+1 + y_t= (у_t+2 – y_t+1) - (y_t+1 – у_t) = у_t+2 – 2y_t+1 +у_t,

різниця n-го порядку 

ⁿy_t=^n-1y_t+1 + ^n-1y_t.

Визначення 2.2. Рівняння вигляду

F(n,y_t, y_t+1 y_t+2… y_t+n)=0, (2.64)

де n  фіксоване, a t  довільне натуральне число, y_t, y_t+1 y_t+2… y_t+n  члени деякої числової послідовності, називається різницевим рівнянням n-го порядку.

Розв’язати різницеве рівняння означає знайти всі послідовності {y_n}, що задовольняють рівнянню (2.64). Різницеві рівняння часто використовуються в моделях економічної динаміки з дискретним часом, а також для наближеного рішення диференціальних рівнянь.

Визначення 2.3. Різницеве рівняння вигляду

В₀y_t + B₁y_t+1 +…+ В_n y_t+n =K (2.65)

де В₀, B₁, ...,В_k - деякі функції від t, називається лінійним неоднорідним різницевим рівнянням n-го порядку.

При K = 0 рівняння називають однорідним.

У випадку, коли коефіцієнти В₀, B, ...,В_n є константами, методи розв’язання даного класу рівнянь багато в чому аналогічні методам розв’язання лінійних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами. Продемонструємо це для різницевих рівнянь другого порядку:

y_t+2 + p y_t+1 + qy_t = K. (2.66)

Аналогічно випадку для лінійних диференціальних рівнянь загальний розв’язок рівняння (2.66) визначається як сума часткового розв’язку у* рівняння (2.66) та загального розв’язку відповідного однорідного рівняння (випадок К=0).

Для визначення загального розв’язку однорідного різницевого рівняння

y_t+2 + p y_t+1 + qy_t = 0,

що відповідає неоднорідному різницевому рівнянню (2.66), необхідно знайти розв’язки характеристичного рівняння

² + p + q = 0.

Після цього можуть виникнути три варіанти.

1. Обидва корені (₁ і ₂)  дійсні і не дорівнюють один одному. Тоді загальний розв’язок має вигляд:

y_t = С₁ ,

де С₁, і С₂  довільні константи.

2. Обидва корені дійсні і дорівнюють один одному (₁ =₂=), тому

y_t = (С₁ .

3. У випадку комплексно-спряжених коренів ₁₂ = r (cos ± i sin)

y_t = r^t (С₁cost + С₂ sint).

Приклад 2.8. Розв’язати рівняння

y_t+2 + 2 y_t+1  qy_t = 645^t.

Знайдемо частковий розв’язок цього рівняння. Скористаємося для цього методом невизначених коефіцієнтів. Будемо шукати частковий розв’язок у вигляді y(t) =р 5^t. Підставляючи цей вираз у наше рівняння, одержимо:

р (25 + 10  3) =64.

Отже, р = 2, тому

y(t) =2.

Розв’язуючи характеристичне рівняння

² + 2  3 = 0,

знаходимо корені ₁ = 1, ₂ =-3. Таким чином, загальний розв’язок рівняння має вигляд:

y_t=2+C₁+C₂ .