2.2.1. Лінійні диференціальні рівняння другого порядку з постійними

коефіцієнтами

Надалі в загальному випадку будемо розглядати динамічні економічні системи, математичними моделями яких є лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами вигляду:

+ а₁ + а₂y=В. (2.32)

Відповідне йому лінійне однорідне диференціальне рівняння має вигляд:

+ а₁ + а₂y=0. (2.33)

Згідно з теоремою 1 загальним розв’язоком y(t) лінійного неоднорідного диференціального рівняння (2.32) є сума часткового розв’язку y* цього рівняння і загального розв’язку (t, C₁, C₂) відповідного йому лінійного однорідного диференціального рівняння (2.33).

Розглянемо відшукування загального розв’язку (t,C₁,C₂) лінійного однорідного диференціального рівняння (2.33).

Характеристичне рівняння має вигляд:

² + а₁  +a ₂ = 0. (2.34)

Це звичайне квадратне рівняння, корені якого (характеристичні числа) мають вигляд:

. (2.35)

У залежності від значення дискримінанту D =  квадратного рівняння (2.35) можливі три варіанти.

1. Характеристичні числа ₁, ₂ є дійсними числами і не дорівнюють одне одному. Тоді загальний розв’язок однорідного диференціального рівняння (2.33) має вигляд:

y(t) = С₁ exp(₁t) + С₂ exp(₂ t). (2.36)

2. Характеристичні числа ₁, ₂ є дійсними числами, крім того ₁=₂. Тоді загальний розв’язок рівняння (2.33) має вигляд:

y(t) = С₁ exp(t) + С₂ t exp(t). (2.37)

3. Характеристичні числа ₁, ₂ є комплексно-спряженими. Тоді загальний розв’язок рівняння (2.33) є функцією вигляду:

у(t) = (С₁ cost + С₂ sint ). (2.38)

Приклад 2.5. Нехай попит та пропозиція на товар визначаються співвідношеннями:

D= 2p'' - p'- p + 15, S= 3p'' + p' + p + 5,

де р  ціна на товар, р'  тенденція формування ціни, р''  темп зміни ціни.

Нехай також у початковий момент часу

p(0)=6,

D(0)=S(0)=10.

Враховуючи вимогу відповідності попиту до пропозиції, знайти залежність ціни від часу.

Розв’язання

Вимога відповідності попиту до пропозиції має вигляд:

D=S.

Отже,

2р'' - р'- p + 15 = 3р''+ р' + p + 5.

У результаті одержуємо лінійне неоднорідне диференціальне рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами

р'' + р'+ 2p = 10, (2.39)

відповідне однорідне рівняння має вигляд:

р'' + р'+ 2p = 0, (2.40)

характеристичне рівняння має вигляд:

² + 2 + 2 = 0.

Корені характеристичного рівняння є комплексно-спряженими:

_1,2 = -1  i.

Загальний розв’язок однорідного рівняння (2.40) є таким:

p(t)= exp(-t) (C₁ cos t + C₂ sin t).

Частковий розв’язок неоднорідного рівняння (2.39) будемо відшукавати у вигляді

p*=A.

Тоді p*=0, p* =0.

Підставивши ці значення в диференціальне рівняння (2.40), одержимо:

2A=10.

A=5  p*=5.

Отже, загальний розв’язок неоднорідного рівняння, який відповідає початковій умові, має вигляд:

p(t)= exp(-t) (C₁ cost + C₂ sint ) + 5. (2.41)

Урахуємо початкову умову: p(0)=6. Тоді (2.41) приймає вигляд:

6=C₁+5  C₁=1.

Обчислимо першу й другу похідну функції (2.41):

p(t)= - exp(-t) (cost + C₂ sint) + exp(-t) (- sint – C₂cost)= exp(-t)((C₂-1)cost – (C₂+1) sint).

р (t)= exp(-t)(-2C₂cost+2sint).

Звідси

р(0)=C₂ – 1; р (0)=-2C₂.

Використовуючи другу початкову умову D(0)=10, знаходимо

10=2(-С₂)=(С₂ - 1) - 6+15.

Отже, С₂=0. Відповідний даним початковим умовам розв’язок має вигляд:

p(t)=5+exp(-t)cos t.