2.1.6. Завдання для самостійної роботи

1.Використовуючи програмне середовище Excel (або інше програмне середовище), побудувати програму розв’язання лінійного диференціального рівняння першого порядку , де , з початковою умовою на інтервалі [0, 1] методами Ейлера та Рунге-Кутта [30], ітераційні формули яких подано нижче. Крок h=0,01.

Метод Ейлера

Метод Рунге-Кутта

Результат подати у вигляді таблиці, в якій містяться значення функції, отримані методом Ейлера та методом Рунге-Кутта. Порівняти отримані результати графічно.

На рис. 2.6. наведено приклад виконання даного завдання студентом третього курсу факультету Економіки та менеджменту Харківського державного технічного університету будівництва та архітектури (ХДТУБА) І. Кононенко. Програму написано у програмному середовищі Delphi (рис.2.6).

а) б)

Рис. 2.6. Програма визначення інтегральних кривих для диференціального рівняння першого порядку: а) форма введення вихідних даних; б) геометрична ілюстрація результату.

2. Розглянути диференціальне рівняння

=k(D(p)  S(p)),

яке моделює зв'язок між зміною ціни р і незадоволеним попитом D(p)  S(p), де D(p) і S(p)  відповідно величини попиту та пропозиції при ціні р, k > 0. Припустимо, що попит та пропозиція задаються лінійними функціями:

D(p)=а  bp, S(p)=m + np,

де а,b,n,m  деякі додатні числа.

2.1. Знайти загальний розв’язок рівняння Самуельсона.

2.2. Провести аналіз розв’язку та визначити діапазон асимптотичної рівноваги моделі.

2.3. Побудувати інтегральні криві рівняння Самуельсона.

2.2. Лінійні диференціальні рівняння вищих порядків

Розглянемо узагальнення класу рівнянь першого порядку на випадок рівнянь більш високих порядків.

Диференціальне рівняння n-го порядку називається лінійним, якщо воно має вигляд:

+ а₁(t) + а₂(t) + ...+ а_n(t)y = В(t), (2.23)

де а₁(t), а₂(t),..., а_n(t), В(t)  неперервні функції.

Теорема 2. Нехай функції а₁(t), а₂(t),..., а_n(t), В(t) неперервні на відрізку [а, b]. Тоді існує, причому єдиний, розв’язок у(t) рівняння (2.23), що задовольняє початковим умовам у(x₀)=у₀, у'(x₀)=у'₀, у^(n-1)(t₀)=у^(n-1)₀, де t  [a,b].

Далі будемо розглядати диференціальні рівняння з постійними коефіцієнтами, тобто а₁, а₂, ..., а_n, В  деякі постійні величини.

Отже, диференціальне рівняння

+ а₁ + а₂ + ...+ а_ny= В (2.24)

називається лінійним диференціальним неоднорідним (В0) рівнянням n-го порядку з постійними коефіцієнтами.

Рівняння

+ а₁ + а₂ + ...+ а_ny = 0 (2.25)

називається лінійним однорідним диференційним рівнянням n-го порядку з постійними коефіцієнтами. У даному випадку це рівняння відповідає рівнянню (2.24).

Наступна теорема зв'язує розв’язки рівнянь (2.24) і (2.25).

Узагальнення теореми 1. Загальним розв’язоком лінійного неоднорідного диференціального рівняння (2.24) є сума часткового розв’язку y* цього рівняння і загального розв’язку (t, C₁, C₂,..., C_n) відповідного йому лінійного однорідного диференціального рівняння (2.25).

Загальний розв’язок однорідного диференціального рівняння має вигляд:

(t, C₁, C₂,... , C_n) = C₁y₁(t) + C₂y₂(t) +... + C_ny_n(t). (2.26)

Загальний розв’язок неоднорідного диференціального рівняння (2.24) має вигляд

y(t) = (t, C₁, C₂,... , C_n) + y*. (2.27)

Для пошуку загального розв’язку (х, C₁, C₂,..., C_n) рівняння (2.25) застосовують характеристичне рівняння:

ⁿ + а₁  ^n-1 +... + a _n-1 +а_n = 0. (2.28)

Характеристичне рівняння (2.28) є звичайним алгебраїчним квадратним рівнянням. При цьому змінні  мають назву характеристичні числа. Характеристичне рівняння одержують з вихідного диференціального рівняння (2.25) заміщенням у ньому похідних шуканої функції відповідним ступенем характеристичного числа , причому сама функція „як похідна нульового порядку” заміщується одиницею.

Під час розв’язання рівнянь (2.28) можливі такі розв’язки:

1. Характеристичні числа ₁, ₂, …, _n є дійсними числами та не дорівнюють одне одному. Тоді загальний розв’язок однорідного диференціального рівняння (2.25) має вигляд:

y(t) = С₁ exp(₁t) + С₂ exp(₂ t) +... + С_n exp(_n t). (2.29)

2. Характеристичні числа ₁, ₂ …, _n є дійсними числами, крім того кратними коренями кратності т  n. Тоді корені

texp(^*t), t²exp(^*t) ... , t^m-1  exp(^*t)

також є коренями однорідного рівняння.

3. Серед характеристичних чисел ₁, ₂ …, _n є комплексно-спряжені числа (числа вигляду _1,2 =   i  див. Зауваження 2.3.).

Тоді загальний розв’язок однорідного диференціального рівняння (2.25) має також корені вигляду:

у(t) = (С₁ cos (t) + С₂ sin ( t) ). (2.30)

Зауваження 2.3. Комплексне число   це число вигляду =  + i, де  і   дійсні числа, а i  так звана уявна одиниця (число, квадрат якого дорівнює ”-1”); =Re називається дійсною частиною, а = Im   уявною частиною комплексного числа. Дійсні числа  окремий випадок комплексних чисел (при  = 0). Комплексні числа, що не є дійсними (  0), іноді називаються уявними числами, при  = 0 комплексні числа називаються чисто уявними. Геометрично кожне комплексне число = + i зображується точкою площини, що має прямокутні координати  і  (рис.2.7). Якщо полярні координати цієї точки позначити через r і , то відповідне комплексне число можна подати у вигляді: =r(cos + isin), що є тригонометричною формою комплексного числа; r= називається модулем комплексного числа =  + i, а  = arctg(/)  його аргументом, або в експонентному вигляді: =r  . Інакше кажучи, дійсне число є скаляром, а комплексне – вектором. Числа _1.2 =  i, є комплексно-спряженими (рис 2.7).

Рис. 2.7. Геометрична інтерпретація комплексних чисел

Частковий розв’язок у* неоднорідного рівняння (2.28) одержують за допомогою методу невизначених коефіцієнтів. Нехай

у*=К, (2.31)

де К – деяка невідома постійна.

Підставимо вираз (2.31) у рівняння (2.28), маючи на увазі, що Тоді , таким чином, (порівняйте з (2.19)!). Безпосередньо підстановкою можна перевірити, що даний розв’язок задовольняє рівняння (2.28).