2.1.4. Найпростіша модель рівноваги

Рівновага  це такий стан об'єкта, в якому об’єкт знаходиться за відсутності зовнішніх впливів. Задачі економічної динаміки включають як опис процесів виходу до стану рівноваги, так і визначення процесів трансформації самого цього стану під впливом зовнішніх сил.

Розглянемо просту економічну систему в стані рівноваги та опишемо динаміку такої системи за допомогою диференційного рівняння.

Диференціальне рівняння пов'язує зміну показника (нехай наша система описується одним показником y(t), або просто y) зі швидкістю його руху .

Нехай швидкість зміни показника y пропорційна величині його відхилення від рівноважного значення y_e. Отже, чим далі показник відхилився від рівноважного значення, тим швидше він прагне повернутися до положення рівноваги. Якщо в рівнянні присутня тільки перша похідна y за часом, а сам зв'язок лінійний, то воно є лінійним неоднорідним диференціальним рівняння першого порядку з постійними коефіцієнтами. Нехай воно має такий вигляд:

у' = k(y - y_e), (2.21)

де k  коефіцієнт пропорційності.

У цьому рівнянні ky_e  вільний член; без нього рівняння y=ky є однорідним і його загальним розв’язком є сім’я функцій y = Сe^kt. Вихідне неоднорідне рівняння (2.21) має частковий розв’язок y = y_e (характеризує величину y у стані рівноваги), а загальний його розв’язок є сума часткового розв’язку неоднорідного рівняння (2.21) і загального розв’язка відповідного однорідного рівняння, тобто рівняння вигляду:

y = y_e +Се^kt. (2.22)

Довільну постійну С можна визначити, застосовуючи початкову умову вигляду y_|t=0 = y(0). Отже, з початкової умови одержимо:

С=y(0)  y_e, і y(t) = y_e +(y(0) - y_e)e^kt.

Якщо k < 0, то е^kt  0 при k . Рівновага стійка, тобто при відхиленні величини y(t) від значення y_e, процес у часі знову збігається до значення рівноваги (рис 2.2).

При k > 0 величина e^kt   і відповідно ряд значень y(t) розбігається (якщо початковий стан не збігається зі станом рівноваги). Поведінку системи при k > 0 проілюстровано на рис. 2.3.

y

y₂(0)

y_e

y₂(0)

t

Рис.2.2. Збіжність Рис.2.3. Монотонна розбіжність

до рівноважного стану процесу

Поведінка динамічних систем може також описуватися, наприклад, графіками рис. 2.4  2.5.

Рис.2.4. Коливальна розбіжність Рис.2.5. Коливальна збіжність

2.1.5. Контрольні питання

1. Запишіть диференціальне рівняння в нормальній формі (формі Коші).

2. Дайте характеристику диференціальних рівнянь зі змінними, що розділяються.

3. Що таке еластичність функції?

4. Що таке автономні рівняння?

5. Подайте геометричний зміст розв’язків диференціального рівняння.

6. Дайте характеристику лінійних диференціальних рівнянь першого порядку.

7. Як знайти частковий розв’язок лінійного неоднорідного диференціального рівняння?

8. Як знайти загальний розв’язок лінійного однорідного диференціального рівняння?

9. Як знайти загальний розв’язок лінійного неоднорідного диференціального рівняння?

10. Дайте геометричну та математичну інтерпретацію точки рівноваги.