2.1.2. Геометричний зміст розв’язків диференціального рівняння

Загальний розв’язок (2.4) y = (t,C) рівняння (2.3) визначає на площині y0t сім’ю кривих, що залежить від параметра С. Ці криві називаються інтегральними.

Приклад 2.4. Розглянемо геометричну інтерпретацію загального розв’язку у=С х^k задачі прикладу 2.1. Ряд 1 на рис.2.1. відповідає значенню довільної постійної С=1, ряд 2 – значенню С=2, ряд 3 – значенню С=3.

Візьмемо деяку точку (t₀, y₀) з області визначення D функції f(t,y). Нехай у = (t)  інтегральна крива, що проходить через цю точку (тобто y₀ = (х₀)). З рівняння (2.3) випливає, що

(t₀)= f (t₀, y₀).

Таким чином, кутовий коефіцієнт дотичної до інтегральної кривої у точці (t₀, y₀), дорівнює (при t = t₀) числу f(t₀, y₀).

Точки, через які не проходить жодна інтегральна крива або проходить більше ніж одна інтегральна крива, називаються особливими точками даного диференціального рівняння.

Із співвідношення (2.4) за допомогою вибору константи С можна одержати рівняння будь-якої інтегральної кривої, тобто можна одержати будь-який частковий розв’язок. Таким чином, сім’я інтегральних кривих рівняння (2.10) на рис. 2.1. складається з трьох часткових розв’язків.

Рис. 2.1. Сім’я інтегральних кривих рівняння (2.10) – функції з еластичністю E_x(y)= 2

2.1.3. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку

Диференціальне рівняння називається лінійним, якщо воно є рівнянням першого ступеню щодо шуканої функції y і її похідної . Загальний вигляд лінійного рівняння першого порядку такий:

+ P(t)y=Q(t). (2.15)

Якщо права частина рівняння має вигляд Q(t) = 0, то рівняння (2.15) називається лінійним однорідним, у противному випадку воно називається неоднорідним.

Будемо далі розглядати окремий випадок рівняння (2.15) –рівняння з постійними коефіцієнтами вигляду:

+ аy=В, (2.16)

де а, В – деякі постійні.

Однорідне диференціальне рівняння, яке відповідає рівнянню (2.16), має вигляд:

+ аy=0. (2.17)

Теорема 1. Загальний розв’язок лінійного неоднорідного диференціального рівняння (2.16) y(t)  це сума часткового розв’язку y* цього рівняння і загального розв’язку (t,C) відповідного йому лінійного однорідного диференційного рівняння (2.17):

y(t)= y* + (t,C).

Відмітимо, що теорема 1 є вірною незалежно від порядку лінійного неоднорідного диференціального рівняння.

Розв’язок однорідного лінійного рівняння (2.17) не вимагає спеціального розгляду, оскільки рівняння (2.17) одночасно є рівнянням зі змінними, що розділяються (див. п. 2.1.1.).

Отже, загальний розв’язок однорідного рівняння (2.17) має вигляд:

(t, C)=C . (2.18)

Частковий розв’язок y* рівняння (2.17) визначається за допомогою варіації довільної постійної. Будемо шукати розв’язок y* рівняння (2.16) у вигляді

y*=K, (2.19)

де K  деяка невідома постійна.

Підставимо значення (2.19) у рівняння (2.16), враховуючи, що =0. Тоді аK =В, таким чином y* = K = .

Отже, загальний розв'язок лінійного неоднорідного диференційного рівняння (2.16) у(t) = y* + (t, C) буде таким:

у(t)= + C . (2.20)