1.5. Контрольні запитання

1. Що таке математична модель?

2. Сформулюйте основну задачу науки.

3. Якою є основна мета обчислювального експерименту в економічній області?

4. У чому принципові відмінності між моделюванням фізичної (технічної, хімічної) і економічної системи?

5. Сформулюйте закон Сея і поняття загальної економічної рівноваги.

6. Які агреговані параметри застосовуються у макроекономіці?

7. У чому різниця між екзогенними та ендогенними змінними?

8. Які види економічного аналізу застосовуються при дослідженні економічних явищ

9. Назвіть відмінності у застосуванні детермінованого та стохастичного підходу при моделюванні складних динамічних економічних систем.

10. Що таке динамічна система?

11. Що є об’єктом та предметом вивчення дисципліни ”Моделювання економічної динаміки”?

12. Надайте характеристику математичного апарату, що застосовується при моделюванні економічних систем?

13. Надайте характеристику схеми дослідження динаміки економічних систем.

14. Надайте визначення економічної статики як розділу економічної теорії.

15. Надайте визначення економічної динаміки як розділу економічної теорії.

1.6. Завдання для самостійної роботи

1. Сформулювати методологічні і методичні особливості макроекономічного аналізу.

Зауваження 1.1: використати посібники [2, 14].

2. Визначити економічний, геометричний та фізичний смисл першої та другої похідної функції однієї змінної. Скласти таблиці перших похідних та первісних основних функцій. Виписати основні типи звичайних диференційних рівнянь першого порядку та основні правила інтегрування диференційних рівнянь.

Зауваження 1.2: використати посібники [26, 27].

3. Зробити класифікацію методів, що застосовуються в економетрії.

Зауваження 1.3: використати посібники [7, 8].

4. Виконати аналіз основних положень таких макроекономічних теорій:

   1. теорії загальної економічної рівноваги;

   2. теорії ділових циклів;

   3. теорії економічного росту.

Зауваження 1.4: використати посібники [2, 14].

4. Здійснити пошук в Internet матеріалів щодо останніх досліджень в галузі економічної динаміки.

Зауваження 1.5: Скласти бібліографічний перелік Лауреатів Нобелівської премії з економіки (починаючи з 1969 року) та визначити, які дослідження з економічної динаміки є приоритетними на цей час.

6.  Визначити суть моделі мирової динаміки Дж. Форрестера.

Зауваження 1.6: Дж. Форрестер спробував побудувати замкнуту модель економічної системи [28], увівши явний опис дії зворотних зв'язків, які, на жаль, не завжди мають очевидний економічний зміст, бо Форрестер використовував пряму аналогію між економічною системою і системою автоматичного регулювання. Проте підхід Форрестера одержав широке поширення, оскільки він відкрив напрямок, що використовує нові інформаційні технології при математичному моделюванні економічних систем.

Розділ 2. Математичний апарат економічної динаміки

2.1. Диференціальні рівняння

2.1.1. Диференціальні рівняння першого порядку та їх застосування у

моделюванні економічних систем

Нагадаємо основні положення теорії диференціальних рівнянь, які вивчались у курсі вищої математики [26,27,29] і стануть у пригоді надалі.

Загальний вигляд диференціального рівняння першого порядку є таким:

, (2.1)

де – незалежна змінна, – невідома функція, – похідна першого порядку невідомої функції .

Якщо це рівняння можна розв'язати відносно y, тобто записати у вигляді:

, (2.2)

то говорять, що рівняння записане в нормальній формі (або у формі Коші).

Порядок диференціального рівняння визначається найвищим порядком похідної невідомої функції, яка входить до рівняння.

Зауваження 2.1. У даному посібнику викладаються інструментальні засоби дослідження поведінки економічних динамічних систем, тому далі, не втрачаючи загальності, в якості незалежної змінної прийматимемо час t, тобто х=t і рівняння (2.2) набуде вигляду:

. (2.3)

Далі вважатимемо записи та у' еквівалентними.

Зауваження 2.2. В даному посібнику в якості математичної моделі динамічних економічних систем розглядаються тільки звичайні диференціальні рівняння, тобто шукана функція (або функції, якщо розглядається система диференціальних рівнянь) залежить тільки від однієї незалежної змінної t.

Загальним розв’язком диференціального рівняння першого порядку (2.1) в області визначення D функції f(t,y) є функція вигляду:

y = (t, C), (2.4)

де C – довільна постійна.

Диференціальне рівняння має нескінченно багато розв’язків. Щоб з цієї безлічі виділити якийсь конкретний розв’язок, потрібно визначити довільну постійну С, для чого необхідно вказати додаткову умову. Найчастіше така умова задається у вигляді початкової умови

у (t₀)= t₀. (2.5)

Задача про знаходження розв’язків диференціального рівняння (2.1), що задовольняють початковій умові (2.4), називається задачею Коші.

Як правило, задача Коші має єдиний розв’язок, який називається частинним розв’язком рівняння (2.3). Умовою, що гарантує як існування розв’язку задачі Коші для рівняння у'=f(t,у), так і його єдиність у деякому околі початкової точки (t₀, у₀) є диференційованість функції f(t, у) у цьому околі. Однак можливі випадки, коли задача має нескінченно багато розв’язків або взагалі не має розв’язків.

Відзначимо, що в деяких випадках процес розв’язання диференціального рівняння визначає розв’язок як неявну функцію, тобто як співвідношення вигляду

Ф(t,y,С)=0, (2.6)

яке називається загальним інтегралом диференціального рівняння.

Відзначимо також, що процес розв’язання диференціального рівняння прийнято називати інтегруванням цього рівняння.

Одним з найбільш простих, але досить важливих з погляду економічних додатків типів диференціальних рівнянь першого порядку є рівняння зі змінними, що діляться:

=p(t)g(y), (2.7)

де р(t) і g(y)  неперервні функції.

Для розв’язання цього рівняння необхідно поділити в ньому змінні, тобто переписати рівняння в такий спосіб:

=p(t)dt (2.8)

у припущенні, що g(y)  0. Тепер ліва частина рівняння містить тільки змінну y, а права  тільки змінну t. Інтегруючи обидві частини рівняння (2.8), одержимо:

=

Останню рівність запишемо у видгляді наступного співвідношення:

G(y)=P(t)+C,

де G(y)  будь-яка первісна для 1/g(y), а Р(t)  первісна для р(t). Таким чином, знайдено загальний інтеграл рівняння (2.7).

Приклад 2.1. Нагадаємо, що еластичністю функції y=f(x) щодо змінної x називають границю відношення відносного збільшення y до відносного збільшення змінної x при x0

. (2.9)

Цю границю позначають через E_x(y).

Величину E_x(y) при заданому значенні x називають також показником, або коефіцієнтом еластичності. Еластичністю функції у відносно x є наближений процентний приріст функції (підвищення або зниження), що відповідає збільшенню незалежної змінної на 1%.

Еластичність функції застосовується під час аналізу попиту й споживання. Наприклад, еластичність попиту y щодо ціни х (або доходу х) – коефіцієнт, що показує приблизно, на скільки відсотків зміниться попит (обсяг споживання) при зміні ціни (або доходу) на 1%. Якщо | E_x(y) | > 1, то попит вважають еластичним, якщо | E_x(y) | = 1 – нейтральним, якщо | E_x(y) | < 1 – нееластичним щодо ціни.

Отже, задача є такою: знайти функцію, що має постійну еластичність k.

За умовою задачі маємо

тобто . (2.10)

Звідси, при природному припущенні, що х  0, одержимо:

.

Інтегруючи обидві частини отриманої рівності, знайдемо:

ln |у| = k ln|x| + С.

Не втрачаючи загальності, подамо цю рівність у вигляді:

ln |у| = k ln|x| + lnС або ln |у| = lnС .

Потенціюючи останнє співвідношення, одержимо вигляд функції, що має постійну еластичність, яка дорівнює k:

у=С х^k.

Приклад 2.2. Швидкість знецінювання устаткування внаслідок його зносу пропорційна в кожен даний момент часу його фактичній вартості. Початкова вартість – А₀. Визначити, коли вартість устаткування знеціниться втричі.

Розв’язання.

Нехай А_t  вартість устаткування в деякий момент часу t, t_шукане – час, коли вартість устаткування знеціниться втричі. Зміна вартості (знецінювання) подається у вигляді різниці (А₀  А_t). Швидкість знецінювання (А₀  А_t) пропорційна фактичній вартості в даний момент А_t. Одержуємо задачу Коші

(А₀  А_t)=k А_t , (2.11)

А_t|_t=0= А₀. (2.12)

Процес розв’язання рівняння (2.11) має вигляд:

 А_t=k А_t ,

_,

ln| А_t |=  kt+ln|C|,

А_t= C e^-kt.

Для визначення довільної постійної С використовуємо початкову умову (2.12):

А₀ = C e^-k0  C =А₀,

А_t= А₀ e^-kt. (2.13)

За умовою задачі =3,

отже,

e^kt=3  t_шукане = (ln3)/k.

Приклад 2.3. Нехай у(t )– кількість продукції, що випускається за час t; р – ціна продукції. Сума інвестицій І(t) пропорційна доходові ру(t)– з коефіцієнтом пропорційності m (m=const, 0<m<1). Збільшення швидкості випуску продукції пропорційне збільшенню інвестицій з коефіцієнтом пропорційності .

Знайти кількість продукції, що випускається галуззю за час t, якщо в початковий момент часу t=t₀, y=y₀.

Розв’язання. За умовою задачі I(t)=m py(t), тому основним рівнянням є диференціальне рівняння

або

Позначимо k=mp. Тоді попереднє рівняння набуде вигляду:

(2.13)

Рівняння (2.13) – це диференціальне рівняння першого порядку зі змінними, що діляться. Загальний розв’язок рівняння (2.13) має вигляд:

y=Ce^kt.

Врахуємо, що ,

.

Звідси кількість продукції, що випускається галуззю за час t за даної початкової умови

Одним із важливих окремих випадків диференціальних рівнянь зі змінними, що діляться, є так звані автономні рівняння. Це рівняння вигляду:

=g(y). (2.14)

Такі рівняння часто зустрічаються в різних питаннях економічної динаміки. Відсутність часу (незалежної змінної) у правій частині рівняння (2.14) можна трактувати як незмінність законів, за якими розвивається економічна система в розглянутий проміжок часу.

Якщо y*  корінь рівняння g(y) = 0 (тобто похідна шуканої функції дорівнює нулю), то у=y*(=const) є розв’язком рівняння (2.14). Такий розв’язок називається стаціонарним (стаціонарна точка).

Економіко-математичні моделі, що базуються на диференціальних рівняннях, називаються моделями зростання з неперервним часом. Відзначимо, що існують також дискретні аналоги цих моделей, що будуть розглянуті нижче.