- •1. Математичне моделювання економічних систем. Економічна динаміка. Об'єкт і предмет дослідження
- •1.1. Загальне поняття про математичні моделі
- •1.2. Економічна система як об’єкт математичного аналізу складних систем
- •1.3. Традиції математичної економіки
- •1.3.1. Загальна економічна рівновага
- •1.3.2. Модель розширеного відтворення
- •1.4. Інструментальні засоби економічної динаміки для моделювання та аналізу економічних процесів
- •1.5. Контрольні запитання
- •1.6. Завдання для самостійної роботи
- •Розділ 2. Математичний апарат економічної динаміки
- •2.1. Диференціальні рівняння
- •2.1.1. Диференціальні рівняння першого порядку та їх застосування у
- •2.1.2. Геометричний зміст розв’язків диференціального рівняння
- •2.1.3. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку
- •2.1.4. Найпростіша модель рівноваги
- •2.1.5. Контрольні питання
- •2.1.6. Завдання для самостійної роботи
- •2.2. Лінійні диференціальні рівняння вищих порядків
- •2.2.1. Лінійні диференціальні рівняння другого порядку з постійними
- •2.3. Системи диференціальних рівнянь
- •2.3.1. Еквівалентність системи двох диференціальних рівнянь першого
- •2.3.2. Розв’язання лінійної системи диференціальних рівнянь з
- •2.3.2. Фазова площина, фазовий портрет
- •2.3.3. Типи фазових портретів. Класифікація точок рівноваги
- •2.3.4. Аналіз стійкості розв’язків системи диференціальних рівнянь. Атрактори динамічних систем
- •2.3.5. Контрольні питання
- •2.3.6. Завдання для самостійної роботи
- •2.4. Поняття про різницеві рівняння
- •2.4.1. Модель соціальної мобілізації
- •Контрольні питання
- •2.3.6. Завдання для самостійної роботи
- •3. Економічні динамічні системи з неперервним часом
- •3.1. Модель природного росту (ріст при постійному темпі)
- •3.2. Логістична крива
- •3.3. Модель Еванса
- •3.4. Неокласична модель росту (модель Солоу)
- •3.4.1. Дослідження стаціонарних траєкторій в моделі Солоу
- •3.4.2. ”Золоте правило” росту Солоу. Теорема про магістраль
- •3.5. Модель гонки озброєнь (модель Ричардсона)
- •3.6. Модель хижак - жертва
- •3.7. Спрощена модель національної економіки
- •3.8. Модель Вальраса регулювання ціни
- •3.9. Динамічна Кейнсіанська модель
- •3.10. Контрольні запитання
- •3.11. Завдання для самостійної роботи
- •4. Дискретні динамічні моделі в економіці
- •4.1. Загальна економічна рівновага
- •4.1.1. Функції попиту та пропозиції на ринку досконалої конкуренції
- •4.1.2. Павутиноподібна модель модель динаміки ринкових цін. Умова стабільності моделі
- •Зауваження 4.1. Відмітимо, що кутові коефіцієнти прямих попиту і пропозиції чисельно дорівнюють відповідно , , (рис. 4.2.А).
- •4.1.3. Поняття про теорію сподівань
- •4.1.4. Контрольні запитання
- •4.1.5. Завдання для самостійної роботи
- •4.2. Ефект мультиплікатора
- •4.2.1. Економічна теорія Дж. М. Кейнса і його послідовників
- •4.2.2. Основні поняття, відомі з курсу макроекономіки
- •4.2.3. Найпростіша динамічна модель з мультиплікатором
- •4.2.4. Оподаткування
- •4.2.5. Модель зовнішньої торгівлі
- •4.2.6. Ефект мультиплікатора у відкритій економіці
- •4.2.7. Контрольні запитання
- •4.2.8. Завдання для самостійної роботи
- •4.3. Теорія економічних циклів
- •4.3.1. Модель взаємодії мультиплікатора і акселератора
- •4.3.2. Модель Самуельсона-Хікса модель мультиплікатора-акселератора
- •4.3.3. Методика прогнозування динаміки ввп на основі моделі Самуельсона-Хікса
- •4.3.4. Модель Тевеса
- •4.3.5. Контрольні запитання
- •4.3.6. Завдання для самостійної роботи
- •5. Лабораторний практикум
- •5.1. Методичні вказівки до виконання лабораторних робіт
- •5.1.1. Порядок виконання роботи
- •5.1.2. Правила оформлення звіту з лабораторної роботи
- •5.2. Перелік лабораторних робіт за модулями
- •5.2.1. Лабораторна робота № 1
- •5.2.2. Лабораторна робота № 2
- •5.2.3. Лабораторна робота № 3
- •5.2.4. Лабораторна робота № 4
- •5.2.5. Лабораторна робота № 5
- •5.2.6. Лабораторна робота № 6
- •5.2.7. Лабораторна робота № 7
- •4.3.7. Лабораторна робота № 8
5.2.2. Лабораторна робота № 2
Тема. Застосування апарату диференційних рівнянь другого порядку та систем диференціальних рівнянь для аналізу поведінки економічних динамічних систем з неперервним часом.
Завдання. Побудувати математичні моделі задач, умови яких подано нижче, надати розв’язання задачі та забезпечити графічне подання фазових портретів (фазових траєкторій з різними значеннями початкових умов) розв’язків диференційного рівняння другого порядку, яке є математичною моделлю задачі, що розглядається, за допомогою програмного середовища Excel або іншої програмної системи (C++ Builder, Delphi).
Зауваження Л1. Використати матеріал п.п. даного посібнику та джерела [ , ].
Задача Л2.1. Нехай попит та пропозиція на товар визначаються співвідношеннями
Q= а1 p'' – а2 p'- а3 p + а4, S= а5p'' + а6 p' + а7 p + а8.
де р ціна на товар, р' тенденція формування ціни, р'' темп зміни ціни,
Нехай також у початковий момент часу
p(0)= а9,
Q() = S(0)= а10,
де а1, а2, а3, а4, а5, а6, а7, а8 постійні, які призначаються викладачем для кожного студенту окремо в залежності від номеру варіанту.
Враховуючи вимогу відповідності попиту пропозиції і використовуючи відповідну програмну систему, знайти залежність ціни від часу.
ЗауваженняЛ2. Використайте приклад 2.5.
Задача Л2.2. У результаті економічного аналізу встановлено, що поведінка системи залежить від двох змінних x і y та описується системою лінійних диференціальних рівнянь:
де а11, а12, а21, а22, d1, d2 постійні параметри, які призначаються викладачем в залежності від номеру варіанту.
При заданих значеннях параметрів визначити:
тип динамічної системи,
координати точки рівноваги системи у фазовому просторі,
тип поведінки системи: стійкість, наявність атрактора.
ЗауваженняЛ3. Використати приклади 2.6, 2.7.
5.2.3. Лабораторна робота № 3
Тема. Застосування апарату різницевих рівнянь першого та другого порядку для аналізу поведінки економічних динамічних систем з дискретним часом.
Завдання. Розробити алгоритм та програмну реалізацію різницевого рівняння першого та другого порядку за допомогою програмного середовища Excel або іншої програмної системи (C++ Builder, Delphi).
Зауваження Л1. Використати матеріал п.п. даного посібнику та джерела [ , ].
Задача Л3.1. Побудувати алгоритмічну та програмну реалізацію моделі соціальної мобілізації як лінійного різницевого рівняння першого порядку та забезпечити графічне подання інтегральних кривих розв’язку, враховуючи можливість завдання значення довільної постійної С.
Задача Л3.2. Побудувати алгоритмічну та програмну реалізацію розв’язання лінійного неоднорідного різницевого рівняння другого порядку та забезпечити подання фазових портретів (фазових траєкторій з різними значеннями початкових умов) розв’язків.
Модуль 3. Економічні динамічні системи з неперервним часом