4.1.2. Павутиноподібна модель  модель динаміки ринкових цін. Умова стабільності моделі

Найпростішою ілюстрацією вищевикладеного положення служить динамічна павутиноподібна модель ринкової рівноваги, яка є однією з класичних економіко-математичних моделей.

Таку назву модель одержала завдяки геометричній інтерпретації  на площині відповідний ітераційний процес подається у виді павутини, що “намотується” на криві попиту та пропозиції.

Павутиноподібна модель дозволяє досліджувати стійкість цін і обсягів товарів на ринку, який описується традиційними кривими попиту та пропозиції при наявності запізнювання в часі (лага) одного з процесів.

Ця динамічна модель була отримана зі статичної моделі попиту та пропозиції [22]. Отже, пропозиція реагує на зміну ціни з лагом в один період, у той час як попит визначається ціною, і обидві ці залежності лінійні:

, (4.5)

_. (4.6)

Виробники вважають, що ціна, установлена на початку поточного періоду, не змінюється протягом цього періоду і є основою для вибору обсягів виробництва в майбутньому періоді.

Таким чином, у функцію пропозиції вклинюється часовий лаг тривалістю в одну одиницю часу. Дійсно, рішення про обсяг виробництва приймається з урахуванням поточних цін, але виробничий цикл має визначену тривалість, і відповідна цьому рішенню пропозиція з'явиться на ринку по закінченню даного циклу.

Істотним припущенням моделі є очищення ринку. У кожному періоді ринок установлює таку ціну, при якій попит поглинає в точності весь обсяг пропозиції, тобто немає постачальників з нерозподіленим товаром і споживачів з незадоволеним попитом.

Балансове рівняння моделі має вигляд:

. (4.7)

Остаточно, з урахуванням (4.5), (4.6) модель (4.7) приймає вигляд

. (4.8)

Рівняння (4.8) є лінійним різницевим неоднорідним рівнянням першого порядку з постійними коефіцієнтами. Методику розв’язання таких рівнянь подано в п. 2.4.

Як частинний розв’язок p* різницевого неоднорідного рівняння (4.8) можна використовувати рівноважний розв’язок

. (4.9)

Відповідне неоднорідному рівнянню (4.8) однорідне різницеве рівняння має вигляд

. (4.10)

Розв’язуючи характеристичне рівняння для рівняння (4.10)

,

одержимо значення характеристичного числа

.

Загальний розв’язок однорідного різницевого рівняння (4.10) має вигляд:

. (4.11)

У припущенні, що початкове значення ціни є відомим, довільна постійна має значення .

Загальний розв’язок неоднорідного рівняння (4.8) приймає вигляд:

. (4.12)

Зазначимо ще раз, що частинний розв’язок (4.9) має економічну інтерпретацію статичної ціни рівноваги.

Загальний розв’язок однорідного різницевого рівняння (4.10) визначає динаміку розвитку економічної системи, тобто вигляд інтегральної кривої  характер поведінки ціни в часі  визначається саме рівнянням (4.11).

Суть павутиноподібної моделі полягає у такому:

а) Пропозиція реагує на ціни з деяким лагом (відставанням у часі), тобто поточна пропозиція визначається ціною попереднього періоду , а поточний попит визначається ціною поточного періоду .

б) Ціни кожного періоду установлюються на такому рівні, щоб зрівняти попит та пропозицію, тобто на рівні, при якому .

Умова стабільності моделі полягає в тому, що ріст ціни приводить до більшого розширення пропозиції в порівнянні з попитом, а падіння ціни – більшому розширенню попиту в порівнянні з пропозицією.

Звичайно, графік попиту на площині має від’ємний кутовий коефіцієнт відносно осі : , а пропозиція – додатний кутовий коефіцієнт відносно осі : .

Таким чином, , і ціна здійснюватиме рухи навколо свого рівноважного значення. Амплітуда цих періодичних коливань може бути зростаючою, постійною або зменшуватися (рис. 4.2), у залежності від співвідношення (символ означає «менше, дорівнює, більше»), тобто в залежності від того, чи більше кутовий коефіцієнт прямої попиту ніж кутовий коефіцієнт прямої пропозиції .

t

a)

б)

в)

Рис. 4.2. Теорема про ринкову рівновагу в павутиноподібній моделі:

а) випадок стійкої рівноваги

б) випадок нестійкої рівноваги

а) випадок регулярних коливань

Таким чином, умова стабільності (умова, за якою ціна збігається до рівноважного значення), як видно зі співвідношення (4.11), для павутиноподібної моделі запишеться , тобто .

Теорема 3 (Про ринкову рівновагу в павутиноподібній моделі). У павутиноподібній моделі точка рівноваги є стабільною, якщо кутовий коефіцієнт нахилу кривої попиту більше, ніж кутовий коефіцієнт нахилу кривої пропозиції:

, тобто . (4.13)

З економічної точки зору умова стабільності формулюється в такий спосіб: визначальним моментом для стійкості системи є менш сильна реакція, що згладжує, на зміну ціни тієї функції, що має часовий лаг (у даному випадку  функція пропозиції).

Під реакцією, що згладжує, мається на увазі еластичність функції. Якщо крива попиту має більшу еластичність, ніж крива пропозиції, то рівновага на такому ринку буде стійкою (рис. 4.2 а). Якщо крива попиту має меншу еластичність, ніж крива пропозиції, то рівновага на такому ринку буде нестійкою (рис.4.2 б). Нарешті, при однаковій еластичності кривих попиту та пропозиції ціни на ринку будуть регулярно коливатися з постійною амплітудою (рис.4.2 в).