3.8. Модель Вальраса регулювання ціни

Для побудови динамічної моделі приймемо такі припущення:

Припущення 1. Ціна регулюється при надлишковому попиті відповідно до рівняння:

,  > 0,

де D = a + bp  функція попиту, S =mN  функція пропозиції, р  ціна, N  кількість фірм у галузі промисловості,   коефіцієнт швидкості регулювання.

Підставивши вирази для функцій попиту і пропозиції у рівняння, одержуємо:

. (3.41)

Припущення 2. Кількість фірм на ринку задовольняє рівняння:

(3.42)

де  фіксовані середні витрати виробництва.

Кількість фірм N збільшується ( ), якщо ціна перевищує середні витрати (доходи додатні) і зменшується, якщо ціна менше середніх витрат (доходи від’ємні).

Рівняння (3.41) і (3.42) складають систему лінійних диференціальних рівнянь першого порядку моделі Вальраса регулювання ціни.

Запишемо модель (3.41-3.42) у вигляді

,

де  матриця коефіцієнтів системи рівнянь моделі.

Проведемо дослідження динаміки поведінки моделі.

Визначник матриці коефіцієнтів системи . Слід матриці коефіцієнтів .

Характеристичне рівняння системи (3.41-3.42)

² + b - m = 0. (3.43)

.

Параметр , отже, необхідною і достатньою умовою стабільності моделі є умова b < 0. Останнє означає, функція попиту повинна бути убутною.

Щоб визначити, чи будуть корені характеристичного рівняння дійсними або комплексними, підрахуємо величину (TrA  4det A)  дискримінант характеристичного рівняння (3.40):

TrA  4det A= (b)²-4(m).

У загальному випадку не можна визначитися, чи буде ця величина додатною або від’ємною. Це залежить від чисельних значень параметрів , b, m, .

Таким чином, єдине, що можна сказати про динаміку моделі, що розглядається  кожний розв’язок системи збігається до стаціонарного тоді і тільки тоді, коли b < 0.

При цьому точка рівноваги системи є стійким вузлом або стійким фокусом у залежності від того, чи буде величина ²b² - 4 m додатною або від’ємною.

3.9. Динамічна Кейнсіанська модель

Розглянемо найпростішу Кейнсіанську модель, у якій національний доход у реагує на надлишковий попит на товар, тобто надлишок інвестицій I над заощадженнями S, а процентна ставка реагує на надлишок попиту на гроші L(Y,r) над екзогенно визначеною пропозицією грошей М, тобто

(3.43)

де

 функція інвестування;

 функції заощаджень;

= приватним заощадженням = постійній частині доходу, яким можна варіювати;

= державним заощадженням = податок ( ) мінус витрати (передбачаються заданими екзогенно);

=додатним постійним швидкості регулювання для простоти;

= діловому попитові ( ) і спекулятивному попитові ( );

=экзогенно визначеній пропозиції грошей.

Усі коефіцієнти  додатні постійні.

Після підстановки одержуємо неоднорідну автономну систему двох лінійних диференціальних рівнянь першого порядку

(3.44)

де  матриця коефіцієнтів системи рівнянь моделі.

Слід матриці , отже, модель стійка.

Визначник матриці А дорівнює .

Динаміка поведінки системи (3.44) визначається загальним розв’язком відповідної однорідної системи диференціальних рівнянь

(3.45)

З характеристичного рівняння системи (3.45)

(3.46)

одержуємо вираз для характеристичних чисел

.

Обидва характеристичних числа однакового знака, обидва від’ємні (поясніть, чому!). Якщо , , маємо два дійсних різних корені рівняння (3.46); якщо , тобто , рівняння (3.46) має один кратний корінь; якщо , тобто , одержуємо , що рівняння (3.46) має комплексні корені.

В окремих випадках: a) , тобто коли маргінальна схильність до заощаджень дорівнює коефіцієнту еластичності спекулятивного попиту на гроші, , фазовий портрет є стійким фокусом; б) , тобто функція ділового попиту має той же кутовий коефіцієнт, що і функція інвестицій (за абсолютною величиною), і фазовим портретом системи знов є стійкий фокус.