3.6. Модель хижак - жертва
Вище розповідалося про безперешкодне розмноження популяції у замкнутій системі. Однак у реальних обставинах популяція співіснує з іншими популяціями, знаходячись з ними в самих різних взаєминах.
Розглянемо антагоністичну пару хижак – жертва (це може бути пара рись – заєць і пара божа корівка – попелиця) і простежимо, як може змінюватися з часом чисельність обох взаємодіючих сторін.
Популяція жертви може існувати сама по собі, у той час як популяція хижака — тільки за рахунок жертви.
Позначимо чисельність популяції жертви через х, а чисельність популяції хижака через y.
Під час відсутності хижака жертва розмножується відповідно до рівняння
х'=x, α>0
а хижак під час відсутності жертви вимирає за законом
у'=–βy, β>0
Хижак з'їдає тим більше жертви, чим її більше і чим більш численний він сам. Тому при наявності хижака чисельність жертви міняється за законом
х'= x –γxy, γ>0.
З'їдена кількість жертви сприяє розмноженню хижака, що можна записати так:
у'=– βy+ δxy, δ>0.
Таким чином, ми одержуємо систему рівнянь
(3.34)
причому
x≥0, y≥0.
Модель хижак - жертва побудовано.
Це нелінійна динамічна модель, що задається системою двох нелінійних автономних диференціальних рівнянь першого порядку.
Система має дві точки рівноваги, координати яких визначаються як розв’язок системи рівнянь
(3.35)
або
x(α–γy)=0, y(–β+δx)=0.
Як і в попередній моделі, найбільший інтерес для нас представляє відмінна від нуля точка рівноваги (x*,y*)
Приклад дослідження моделі у програмному середовищі Excel подано на рис. 3.5. За даною моделлю при визначених екзогенних змінних =0.1, γ=0.01, β=0.05, δ=0.001 побудовано часові ряди значень функцій, які досліджуються, а саме x(t) – кількість жертви та y(t) – кількість хижака.
Координати точки рівноваги (x*,y*)=(50,10).
Графічне подання результатів розрахунків виконано як у вигляді інтегральних кривих (рис. 3.5.а), так і у вигляді фазового портрету (рис.3.5.б).
x
Рис. 3.5. Реалізація моделі хижак-жертва:
а) інтегральні криві функцій x(t), y(t);
б) фазовий портрет системи (3.34) – прямокутником позначено положення точки рівноваги
3.7. Спрощена модель національної економіки
У спрощеній моделі національної економіки як основні змінні виступають: національний доход W, споживання S і державні витрати Е. Нехай швидкість зміни національного доходу подається формулою
0< ,
,
швидкість зміни споживання
,
>0,
де D різниця між доходом і споживанням.
Нехай W загальний доход, а сумарне споживання дорівнює S + Е, отже
D = W S Е.
Підстановка
в рівняння для
дає
=
(W
S
E).
Передбачається, що урядові витрати
постійні і дорівнюють Е=Е0.
Тоді спрощену математичну модель національної економіки, що розглядається, можна подати як систему двох диференціальних рівнянь
(3.36)
= (W S E0).
Це лінійна динамічна система, що подається неоднорідною системою лінійних диференціальних рівнянь першого порядку.
Розглянемо поведінку системи в часі.
Точку рівноваги системи знаходимо із системи рівнянь
=0,
(3.37)
(W S E0)=0.
Точка рівноваги системи (стаціонарна точка, точка покою) має координати:
W*=
,
S*=
.
У реальній моделі значення W, S і E0 не можуть бути від’ємними.
Отже, > .
Матриця коефіцієнтів А однорідної системи диференціальних рівнянь
(3.38)
= (W S),
має вигляд
А=
.
Визначимо слід і детермінант матриці А:
Tr(A)= ,
Det (A)= ( ).
Характеристичне рівняння однорідної системи (3.38) має вигляд:
.
(3.39)
Характеристичні числа визначаються за формулою:
(3.40)
Оскільки, як сказано вище, > , то det(A) > 0, отже, точка рівноваги системи не може бути сідлом.
Якщо > , то Tr(A) > 0 і економічна система є нестійкою.
У випадку < економічна система є стабільною.
Якщо = , атрактор є граничним циклом. У цьому випадку економіка осилюватиме.