1.3. Традиції математичної економіки

Математична економіка виникла з політичної економії. Схематично можна виділити дві лінії розвитку математичних методів аналізу економічних систем.

1.3.1. Загальна економічна рівновага

Засновниками одного напряму є Ж.-Б. Сей і А. Курно. Сей розглядав зв'язок процесів виробництва, розподілу і обміну в ринковій економіці. Він вважав, що в процесі виробництва затрачаються праця , капітал , земля і виробляються споживчі вартості-корисності.

Вартість товару визначається витратами виробництва і корисністю продукту. Установлюється вартість такою, що попит врівноважується з пропозицією товару. Ж.-Б. Сей сформулював закон ринку: процес обмінів на ринку автоматично приводить до рівноваги, тому сукупний попит на товар завжди дорівнює пропозиції товару. Оскільки є вірним закон Сея, вивчення саме стану рівноваги на ринку має важливе значення.

Розробка ідеї Сея привела до теорії економічної рівноваги.

Людині взагалі є притаманним прагнення до стабільності, яке формалізується в теорії динамічних економічних систем за допомогою поняття рівноваги. Рівновага  це стан системи, у якому параметри, що досліджуються, залишаються незмінними у часі.

Моделі стану рівноваги дають спрощену схему картини рівноважного світу ринкової економіки, проте вони допомагають точніше зрозуміти зв'язки економічних показників і тенденції структурних зрушень.

Отже, модель ринкової рівноваги містить опис сукупного попиту та сукупної пропозиції товару на ринку. Функція пропозиції будується на основі моделі виробництва.

Розглянемо деяку технологію, що перетворює деякі фактори виробництва в продукт. Позначимо через кількість використаних факторів, а  величину випуску в одиницю часу. Будемо вважати, що перетворення задається багатовимірною функцією вигляду

.

За змістом, функція визначена тільки при х_i > 0, i = 1,... ,п, і приймає невід’ємні значення.

Частинна похідна > 0 показує, яку добавку до випуску дає використання додаткової одиниці i-го фактора за інших однакових умов, і називається граничною продуктивністю i-го фактора.

Модель виробництва ґрунтується на аксіомі убутної граничної продуктивності Дж. Б. Кларка: за інших рівних умов гранична продуктивність i-го фактора спадає зі збільшенням кількості цього фактора у виробництві.

З аксіоми убутної граничної продуктивності випливає, що < 0, i = 1,..., п. Отже, функція невід’ємна, монотонно зростаюча, увігнута. У математичній економіці вона називається виробничою функцією.

Функція попиту будується на підставі теорії граничної корисності, розробленої австрійською школою політичної економії. Відповідно до цієї теорії споживач має апріорне представлення про корисність продуктів і оцінює споживчу вартість набору продуктів у кількостях у₁,... ,у_n функцією корисності U(у₁ ,... ,у_n). Оскільки корисність має економічний зміст, то U(у₁ ,... ,у_n) > 0. Частинна похідна показує, наскільки зросте корисність набору y₁,... ,у_n, якщо додати одиницю i-го продукту. Природно вважати, що , i = 1,... ,п. Похідна називається граничною корисністю одиниці i-го продукту в наборі у₁,..., у_n.

Теорія споживчого попиту заснована на аксіомі убутної граничної корисності: гранична корисність додаткової одиниці i-го продукту падає зі збільшенням кількості його в наборі за інших рівних умов. Отже, < 0, i = 1,... ,n. Функція корисності U(у₁ ,... ,у_n) невід’ємна, монотонно зростаюча, увігнута.

Функція пропозиції виробника будується на підставі аксіоми про максимізацію прибутку виробниками, а функція попиту  на підставі аксіоми про максимізацію корисності при бюджетному обмеженні споживачів.

Математична модель об'єкта, що досліджується. як правило, містить у собі дві групи елементів: відомі до моменту побудови моделі, екзогенні, (визначені поза моделлю) параметри і невідомі  ендогенні (обумовлені усередині моделі)  параметри, які треба визначити з аналізу (розв’язання) моделі.

Побудувати математичну модель функціонування деякої системи означає відшукати або постулювати оператор (функцію), що зв’язує невідомі і відомі параметри моделі.

Як правило, у макроекономічних моделях як екзогенні параметри задаються технологія виробництва у вигляді виробничої функції і характер поведінки економічних суб'єктів на кожному з ринків у вигляді їхніх функцій попиту та пропозиції. Як ендогенні показники, які одержуються з аналізу моделі виступають величина реального національного доходу, рівень зайнятості, ставка реальної заробітної платні, реальна ставка відсотка і рівень цін. Особливий інтерес представляє такий вектор ендогенних величин, при якому економіка знаходиться в стані загальної рівноваги.

Загальна економічна рівновага  це стан, при якому обсяг виробництва і пропорції обміну склалися таким чином, що на всіх ринках одночасно досягнуто рівність між попитом та пропозицією і при цьому жоден з учасників ринкових угод не зацікавлений змінювати свої обсяги покупок або продажів.

Визначити стан загальної економічної рівноваги  значить з'ясувати, при яких умовах всі учасники ринкового господарства зможуть реалізувати свої цілі. Досягнення загальної економічної рівноваги не означає, що тепер кожен учасник ринкового господарства задоволений своїм положенням; рівновага просто констатує, що за рахунок зміни обсягу і структури покупок або продажів ніхто не зможе поліпшити свій добробут у сформованих умовах.

Загальна економічна рівновага не є типовим станом ринкової економіки, тому що плани суверенних суб'єктів, що розробляються незалежно один від одного, лише випадково можуть виявитися взаємно узгодженими. Однак поведінка суб'єктів у ринковому господарстві визначається їхнім бажанням досягти рівноваги.

Для розуміння специфіки поточної господарської кон'юнктури і прийняття рішень про заходи економічної політики важливо виявити, чи є економічна рівновага стійкою або нестійкою.

Якщо у відповідь на екзогенний імпульс, що порушує рівновагу, система сама під впливом внутрішніх сил повертається у рівноважний стан, то рівновага називається стійкою (стабільною). Економічна рівновага називається нестійкою, якщо після екзогенного імпульсу вона самостійно не відновлюється. Тому поряд з визначенням умов установлення загальної економічної рівноваги необхідно досліджувати характер рівноваги.

У залежності від того, якою мірою при дослідженні економічних явищ враховується час, розрізняють три вигляди аналізу: статичний, порівняльної статики і динамічний.

При статичному аналізі визначаються значення ендогенних параметрів на деякий момент часу.

Якщо модель дозволяє визначити значення ендогенних параметрів у різні моменти часу, але при цьому не описується процес переходу від одного рівноважного стану до іншого, то це модель порівняльної статики. Процес переходу економіки з одного стану в інший досліджується в ході динамічного аналізу, при якому екзогенні та ендогенні змінні розглядаються як функції від часу: y(t), P(t).

У рамках динамічного аналізу з’ясовуються також причини можливого неповернення економіки в рівноважний стан після екзогенного шоку (поштовху).

Через взаємозв’язок всіх ендогенних макроекономічних параметрів їхні рівноважні значення, як правило, можна визначити тільки спільно на основі розв’язання системи рівнянь, що описує взаємодія макроекономічних суб’єктів одночасно на всіх макроекономічних ринках.

Точка рівноваги  точка, потрапивши в яку траєкторія розвитку динамічної системи вже не може її залишити без додаткових зовнішніх впливів. Аналогічним чином можна сказати, що, якщо траєкторія починається в точці рівноваги, то без зовнішнього поштовху траєкторія не залишить цю точку. На рис. 1.1 розглянуто механічну інтерпретацію положення рівноваги.

а)

Рис.1.1. Положення рівноваги механічної системи

а) – стійке; б) – нестійке.