3.5. Модель гонки озброєнь (модель Ричардсона)

Розглянемо конфліктну ситуацію, у якій можуть виявитися дві сусідні країни, для визначеності названі країнами Х і Y.

Позначимо через x=x(t) витрати на озброєння країни Х і через у= y(t) витрати на озброєння країни Y у момент часу t ≥ 0.

Припущення 1. Країна Х озброюється, побоюючись потенційної погрози війни з боку країни Y, яка у свою чергу, знаючи про ріст витрат на озброєння країни Х, також збільшує свої витрати на озброєння. Кожна країна змінює швидкість росту (або скорочення) озброєнь пропорційно рівню витрат іншої країни. У найпростішому випадку це можна описати так:

(3.29)

де  і β  додатні постійні.

Однак написані рівняння мають очевидний недолік — рівень озброєння нічим не лімітується. Тому праві частини цих рівнянь необхідно коректувати.

Припущення 2. Чим більше поточний рівень витрат країни на оборону, тим менше швидкість його росту. Це дозволяє внести в попередню систему наступні зміни:

де γ і δ  додатні постійні.

Припущення 3. Кожна країна нарощує озброєння, керуючись своїми державними домаганнями і ворожістю до сусідньої країни, навіть якщо ця країна не загрожує існуванню даної. Позначимо відповідні претензії через а і b (а і b  додатні постійні). У випадку якщо постійні а і b від’ємні, їх можна назвати коефіцієнтами доброї волі.

Ґрунтуючись на всіх трьох припущеннях, у результаті одержуємо наступну систему рівнянь:

(3.30)

Модель гонки озброєнь побудовано.

Система (3.30) – це лінійна неоднорідна система двох диференціальних рівнянь першого порядку з постійними коефіцієнтами. Крім того, ця динамічна система є автономною (час у явному виді в правій частині рівнянь системи не присутній).

Згідно з теоремою 1. (див п. 2.3.2) загальний розв’язок (x(t), y(t)) неоднорідної системи лінійних диференціальних рівнянь першого порядку (3.26) є сума часткового розв’язку (x*, y*) цієї системи і загального розв’язку ( (t,C₁,C₂), (t,C₁,C₂)) відповідної лінійної однорідної системи диференціальних рівнянь вигляду

(3.31)

При цьому, якщо відомі початкові умови x₀≥0 і y₀≥0 (початковий стан гонки озброєнь), то можна визначити розв’язок, що відповідає даним початковим умовам, тобто визначити довільні постійні С₁, С₂ у функціях x(t) і y(t).

Частинний розв’язок (x*, y*) системи (3.31) знаходять, припускаючи, що рівні витрат обох країн на озброєння не залежать від часу (є стаціонарними). Це означає, що

х'=0, у'=0,

тобто частковий розв’язок (x*, y*) є розв’язком системи двох аналітичних рівнянь вигляду:

Координати точки рівноваги у даному випадку є такими:

x*= ,

Динаміка гонки озброєнь визначається сукупністю значень екзогенних параметрів , β, γ, δ, які, в свою чергу, утворюючи матрицю коефіцієнтів системи (3.30), визначають коефіцієнти характеристичного рівняння однорідної форми рівняння (3.30).

Характеристичне рівняння однорідної системи (3.31) має вигляд:

. (3.32)

Отже, характеристичні числа визначаються за формулою:

. (3.33)

Взагалі модель Ричардсона при t може демонструвати такі три випадки:

1. Нескінченна гонка озброєння: x(t) , y(t) ;

2. Взаємне роззброювання: , ;

3. Рівновага озброєнь: , , де y* і x* > 0.

Формально ці варіанти визначаються в залежності від величини дискримінанту квадратного рівняння (3.33).

На завершення процитуємо висловлення Т. Сааті про цю модель: "Модель представляється набагато більш переконливою, якщо замість озброєнь провести на ній вивчення проблем погрози, оскільки люди реагують на абсолютний рівень ворожості, що виявляється щодо іншими, і випробують почуття тривоги в ступені, пропорційному рівню ворожості, що вони випробують самі" [1].