3.3. Модель Еванса

Модель Еванса  це модель встановлення рівноважної ціни на ринку одного товару. Розглядається ринок одного товару, час вважається неперервним. Нехай D(t), S(t), p(t)  відповідно попит, пропозиція і ціна цього товару в момент t. Попит та пропозиція вважаються лінійними функціями ціни, тобто D(p) = а  bр, а, b > 0  попит з ростом ціни падає, a S(p) =  +  р, ,  > 0,  пропозиція з ростом ціни зростає. Природно вважати, що а > , тобто при нульовій ціні попит перевищує пропозицію (тобто товар є бажаним).

Основне припущення моделі полягає в тому, що ціна змінюється в залежності від співвідношень між попитом та пропозицією:

р = (d  s)t,

де  > 0.

Отже, збільшення ціни прямо пропорційно перевищенню попиту над пропозицією і тривалості цього перевищення. Отже, одержуємо диференціальне рівняння =(d  s). Підставляючи в це рівняння лінійні залежності попиту та пропозиції від ціни, одержуємо лінійне неоднорідне диференціальне рівняння першого порядку з початковою умовою (задача Коші):

= ((b + )р  а + ), (3.16)

р(0) = р₀.

Загальний розв’язок даного рівняння є сума загального розв’язку відповідного однорідного рівняння

. (3.17)

і якого-небудь часткового розв’язку неоднорідного рівняння (3.16).

Як частковий розв’язок неоднорідного рівняння (3.16) розглянемо стаціонарну точку даного рівняння

р*= (а  )/(b + ) > 0.

Очевидно, > 0 при р* > р і < 0 при р* < р.

Звідси випливає, що р(t)=р*. При р₀ < р* ціна збігається до р* зростаючи, а при р₀ > р*  убуваючи. Сама ціна р* є рівноважна ціна  при ній попит та пропозиція дорівнюють один одному:

D(p)= S(p)  а  bр =  +  p  р* = (а  )/(b + р).

Рівноважна ціна може бути знайдена також графічно  як точка перетинання прямих попиту D(p) = а  bр і пропозиції S(p)=а+  р (рис. 3.4).

D,S

Рис. 3.4. Динаміка моделі Еванса

Випишемо загальний розв’язок однорідного диференціального рівняння (3.17) з урахуванням початкової умови:

(3.18)

або

.

Очевидно, .

3.4. Неокласична модель росту (модель Солоу)

Дана модель ґрунтується на таких припущеннях: економіка розглядається як єдине ціле (без структурних підрозділів), виробляється єдиний універсальний продукт, що може споживатися як у невиробничій сфері, так і у виробничій; споживання продукту у виробничій сфері може розглядатися як інвестування.

Ця модель досить адекватно відбиває найважливіші макроекономічні аспекти, у тому числі і процес відтворення.

Стан економіки в моделі Солоу задається п’ятьма змінними: Y  національний доход (кінцевий продукт), К  обсяг капіталовкладень (виробничих фондів), L  величина витрат праці, I – інвестиції, C  невиробниче споживання.

Вважаємо, що ресурси (виробничі та невиробничі) використовуються повністю.

Частина національного доходу  фонд накопичення I  використовується на збільшення капіталу для розширення виробництва (інвестування). Інша частина утворює фонд споживання C і задовольняє суспільні потреби.

Річний кінцевий продукт є функцією виробничих фондів та праці:

Y = F(K, L). (3.19)

Функція F(K,L) задовольняє вимоги до виробничих функцій та вважається лінійно-однорідною: (F(K, L) =  F(K, L)), де  > 0.

Властивість лінійної однорідності виражає ідею Сея про те, що доход від виробництва розподіляється пропорційно факторам виробництва, а коефіцієнтами пропорційності служать граничні продуктивності факторів.

Отже, F(K, L)  виробнича функція. Нехай y=f(k)  продуктивність праці:

y=f(k) = , (3.20)

де k =  фондоозброєність; f^/(k) > 0, f"(k) < 0 (як наслідок з визначення виробничої функції).

Кінцевий продукт Y використовується на невиробниче споживання C та інвестиції I, тобто баланс виробництва і розподілу національного доходу має простий вигляд:

Y=I + C,

Нехай  ( = const 0 <  < 1)  норма інвестицій (норма накопичення), тобто

I = Y,

тоді

C=(1  )Y.

Нехай має місце природний приріст трудових ресурсів, тобто

(=сonst).

Розв’язуючи це диференціальне рівняння, одержуємо

L(t)=L₀ ,

де L₀= L(0) – трудові ресурси на початку спостереження. Отже, робоча сила є зростаючою з заданим постійним темпом .

Повинні виконуватися очевидні умови

I  0, C  0 . (3.21)

Інвестиції використовуються на відновлення (амортизацію) основних фондів та на їх приріст, тобто

I= K + ,

де   норма амортизації.

Отже,

= Y  K, K(0)= K₀.

Отже, динамічна односекторна модель Солоу (найпростіша модель економічного росту) задається системою рівнянь:

C=(1  )Y. (3.22)

Y = F(K, L), (3.23)

L(t)=L₀ , (3.24)

= Y  K, K(0)= K₀. (3.25)

Похідна функції фондоозброєності k за часом має вигляд:

= = y k  k = y k( + ).

Отже,

y k( + ); (3.26)

k(0)=k₀= .

Рівняння (3.26) називається рівнянням неокласичного росту.

Поведінка макропоказників моделі Солоу повністю визначається рівнянням (3.26) і динамікою (3.24) трудових ресурсів L(t)=L₀ .

Рівняння (3.26)  це диференційне рівняння першого порядку зі змінними, що розділяються, і початковою умовою (задача Коші), тому воно має єдиний розв’язок.