3.2. Логістична крива

Розглянемо більш загальний випадок у порівнянні з попереднім пунктом. Нехай р=р(у)  убутна функція, <0, тобто зі збільшенням випуску відбувається насичення ринку і ціна зменшується.

Провівши викладення, аналогічні п.3.1., одержимо рівняння:

у'=kp(y)y, (3.5)

де k= mр.

Рівняння (3.5) являє собою автономне нелінійне однорідне диференціальне рівняння першого порядку з постійними коефіцієнтами. Оскільки k > 0, р > 0, у > 0, то з (3.5) випливає, що y(t) є зростаючою функцією (у' > 0).

Нехай, наприклад, р(у) = b  ay (а, b > 0), тоді рівняння (3.5) приймає вигляд:

у'=k(b  ay)y. (3.6)

З (3.6) легко одержати значення стаціонарних точок функції у, тобто точок, де = 0. Отже, є дві стаціонарних точки: y = 0, та y = b/а.

Крім того, враховуючи, що = k (b  ay), визначимо знак другої похідної . Якщо y > b/2a, то < 0, і > 0 при y > b/2a (рис. 3.2).

Рис. 3.2. Логістична крива

У даному випадку досить легко одержати і явний вираз для y(t). Розділяючи змінні в рівнянні (3.6), знаходимо

, або .

Інтегруючи ліву та праву частини останнього співвідношення, маємо

ln|y|-ln|b-ay|=kbt+lnС,

тобто

.

Звідси одержимо, що

. (3.7)

Графік функції (3.7) називається логістичною кривою.

Логістична крива також описує деякі моделі поширення інформації, ефективність реклами, динаміку епідемій, процеси розмноження бактерій в обмеженому середовищі та ін.

Зауваження 3.2. З графіка логістичної кривої видно, що при малих t логістичний ріст схожий із природним ростом, однак при великих t характер росту міняється, темпи зростання сповільнюються і крива асимптотично наближається до прямої y = b/a. Ця пряма є стаціонарним розв’язком рівняння (3.6) і відповідає випадку р(у) = 0.

3ауваження 3.3. Більш реалістичною є модель, у якій швидкість зростання залежить не від доходу, а від прибутку. Нехай С(у) = y +   витрати, (,   постійні), тоді

(3.8)

Якщо , то права частина рівняння (3.8) являє собою квадратний трьохчлен відносно y з від’ємним коефіцієнтом перед у²:

=  kaу² +(b  )y  . (3.9)

Координати стаціонарної точки задовольняють квадратне рівняння

 kaу² +(b  )y  =0. (3.10)

Можливі три варіанти.

а) Дискримінант квадратного рівняння (3.10) D < 0. Отже, у' < 0. Витрати настільки великі, що це приводить до постійного падіння рівня виробництва і зрештою до банкрутства (рис. 3.3. а).

б) D = 0. У цьому випадку у'  0 і є один стаціонарний розв’язок. При цьому інтегральні криві, що задовольняють початковій умові у(t₀)=у₀>у*, будуть асимптотично наближатися до у* на +, а інтегральні криві, що задовольняють умові у₀< у*, будуть асимптотично наближатися до у* на  (рис. 3.3.б).

в) D > 0. У цьому випадку існують два стаціонарних розв’язки y=y₁ y=y₂ (0 < y₁ < y₂). При цьому у' > 0 при y₁ <у<у₂ і у'<0 при y₁<y або y>y₂ (рис. 3.3. в).

а) б) в)

Рис. 3.3. Графічний аналіз моделі (3.9):

а) випадок банкрутства підприємства,

б) випадок однієї стаціонарної точки,

в) випадок двох стаціонарних точок.

Приклад 3.1. Модель прогнозування попиту на товари тривалого користування

За даними статистики кон'юнктури попит на деякі товари з часом зростає: спочатку повільно, потім швидко і, нарешті, сповільнюється в міру насичення. Це значить, що швидкість збільшення попиту прямо пропорційна забезпеченості і насиченню товаром.

Для побудови моделі вводяться наступні позначення [31]:

t  поточний час;

у  забезпеченість товаром (питома вага родин або людей, що володіють даним товаром);

А  насиченість товаром (граничне значення забезпеченості товаром);

К  коефіцієнт пропорційності.

Тоді залежність забезпеченості від часу виражається диференціальним рівнянням

(3.11)

тобто швидкість збільшення забезпеченості пропорційна забезпеченості y і незабезпеченості . Звідси випливає, що при малих і великих значеннях у швидкість збільшення забезпеченості буде малою.

Коефіцієнт К і насиченість А визначають у такий спосіб. Нехай є статистичні дані y_t за минулі роки t = 1,2, ... m. Диференціальне рівняння (3.10) перепишемо у вигляді

= KAy_t  KAy²_t (3.12)

Приймаючи t = 1 і позначаючи КА = b, одержуємо:

y_t = by_t  ky_t². (3.13)

Для визначення b і К використовують метод найменших квадратів [7,8] по точках t = 1, 2, ... m, одержують залежність для

L = (у_t  by_t + ky_t²)  min. (3.14)

За необхідною умовою наявності екстремуму похідні від L по b і К повинні дорівнювати нулеві [7,8], тобто

= 2 (у_t  by_t + ky_t²) (y_t) = 0, (3.15)

= 2  by_t + ky_t²)y_t²=0.

На основі (3.14) формуємо систему нормальних лінійних рівнянь

b y_t² – k y_t³ = ,

b y_t³ – k y_t⁴ = .

Розв’язуючи цю систему, визначаємо b і К, а потім знаходимо А = b/K. Для визначення у розв’язуємо рівняння

.

і одержуємо розв’язок у вигляді логістичної функції

,

у якій А і К були раніше визначені за методом найменших квадратів.

Для визначення постійної інтегрування С можна у якості початкової умови покласти, щоб функція проходила через останню точку m, тобто виконувалася умова

y_m= .

Розв’язуючи це рівняння відносно C, одержуємо

.

Остаточна залежність попиту від часу приймає вид:

.

Прогнози попиту одержують при підстановці в цю формулу значень t > m.