1. Контрольні питання

1. Які чинники визначають доцільність введення апарату різницевих рівнянь на розгляд?

2. Надайте визначення різниці першого, другого, n-го порядку.

3. Дайте характеристику лінійного неоднорідного різницевого рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами.

4. Визначте вигляд загального розв’язку однорідного різницевого рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами в залежності від значень характеристичних чисел.

5. Що таке процес соціальної мобілізації?

6. Визначте загальний розв’язок моделі соціальної мобілізації.

7. Наведіть алгоритм одержання значень екзогенних параметрів моделі соціальної мобілізації.

2.3.6. Завдання для самостійної роботи

8. Для моделі соціальної мобілізації в залежності від значень екзогенних параметрів (величини γ ) можливі такі типи динаміки поведінки:

а) монотонна збіжність до стану рівноваги;

б) осцилююча збіжність до стану рівноваги;

в) монотонна розбіжність;

г) осцилююча розбіжність.

Варіанти а) і б) характеризують стійку систему: усі розв’язки монотонно або коливально збігаються до положення рівноваги незалежно від значення M₀, а варіанти в) і г) означають, що система є нестабільною.

Визначити діапазони значень параметра γ, які відповідають кожному з типів динаміки поведінки моделі.

3. Економічні динамічні системи з неперервним часом

3.1. Модель природного росту (ріст при постійному темпі)

Нехай y(t)  інтенсивність випуску продукції деякого підприємства (галузі). Нехай має місце аксіома про ненасичуваність споживача, тобто весь випущений підприємством товар буде проданий, а обсяг продажів не є настільки високим, щоб істотно вплинути на ціну товару р, яку будемо вважати фіксованою. Для збільшення інтенсивності випуску y(t), необхідно, щоб чисті інвестиції I(t) (тобто різниця між загальним обсягом інвестицій і амортизаційними витратами) були більше нуля. У випадку I(t) = 0 загальні інвестиції лише покривають витрати на амортизацію, і рівень випуску продукції залишається незмінним. Випадок I < 0 приводить до зменшення основних фондів і, як наслідок, до зменшення рівня випуску продукції. Отже, швидкість збільшення інтенсивності випуску продукції є зростаючою функцією від I.

Нехай ця залежність є прямо пропорційною, тобто має місце принцип акселерації

у' = m I (т = const), (3.1)

де 1/m  норма акселерації.

Нехай   норма чистих інвестицій, тобто частина доходу pу, що витрачається на чисті інвестиції, тоді

I = ру.

Звідси підставляючи вираз для I у (3.1), одержуємо

у' =mру або у'= ky, (3.2)

де k= mр > 0 = const. Розділяючи змінні в рівнянні (3.2), маємо

=kdt.

Після інтегрування обох частин рівняння знаходимо

ln |у|=k t + lnС.

Загальний розв’язок рівняння (3.2) має вигляд:

у=Се^kt. (3.3)

Якщо y(t₀) = у₀ то з (3.3) випливає, що С = у₀ , тобто

у =у₀ . (3.4)

Рівняння (3.4) називається рівнянням природного росту. Цим рівнянням описуються також динаміка росту цін при постійному темпі інфляції, процеси радіоактивного розпаду і розмноження бактерій.

Інтегральна крива рівняння (3.2), що відповідає початковій умові y(0) = 2, представлена на рис. 3.1.

y(t)

0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 t

Рис. 3.1. Інтегральна крива рівняння моделі природного росту

Зауваження 3.1. Модель природного росту доцільно застосовувати на початкових етапах розвитку економічної системи протягом обмеженого проміжку часу, оскільки, як це випливає з рівняння (3.4)) з часом y може приймати які завгодно великі значення, що не може не позначитися на зміні ціни (яку у даній моделі ми вважали постійною).