2.3.4. Аналіз стійкості розв’язків системи диференціальних рівнянь. Атрактори динамічних систем

Розглянемо неавтономну систему диференціальних рівнянь:

, i=1,2. (2.61)

Нехай x_i=x_i(t), i=1, 2,  розв’язок системи, який відповідає початковій умові x_i(t₀)=x_i0.

Визначення 1 (Стійкість за Ляпуновим). Розв’язок системи x_i=x_i(t), i=1,2 є стійким за Ляпуновим, якщо для будь-якого дійсного числа  > 0 існує дійсне число > 0, таке, що система нерівностей

припускає

для всіх t  t₀.

При цьому  розв’язок, який визначається початковими умовами

Це означає, що незначна зміна початкових умов не спричинить значної зміни розв’язку.

Визначення 2 (Нестійкість). Якщо для деякого дійсного числа  > 0 такого дійсного числа не існує, то розв’язок x_i=x_i(t), i=1,2 є нестійким.

Визначення 3 (Асимптотична стійкість за Ляпуновим). Стійкий розв’язок системи x_i=x_i(t), i=1,2 є асимтотично стійким, якщо можна вказати таке число r, що з нерівності

випливає

, i=1,2.

Асимптотично стабільна точка рівноваги називається атрактором, нестабільна точка рівноваги називається репелером.

Отже, стійкий вузол, стійкий фокус, граничний цикл є атракторами, нестійкий вузол, нестійкий фокус, сідло  репелерами.

2.3.5. Контрольні питання

1. Дайте характеристику лінійних диференціальних рівнянь другого порядку.

2. Чому дорівнює загальний розв’язок лінійного неоднорідного диференціального рівняння другого порядку?

3. Для чого застосовується характеристичне рівняння?

4. Які випадки розв’язків характеристичного рівняння можуть мати місце?

5. Дайте геометричну інтерпретацію комплексних чисел.

6. Як знайти частковий розв’язок y* неоднорідного лінійного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами?

7. Скільки початкових умов має задача Коші для диференціальних рівнянь другого порядку і які?

8. Покажіть еквівалентність системи двох диференціальних рівнянь першого порядку та диференціального рівняння другого порядку.

9. Як визначається положення рівноваги системи диференціальних рівнянь.

10. Дайте визначення фазової площини, фазової траєкторії та фазового портрету.

11. У чому відмінність фазової траєкторії та інтегральної кривої?

12. Класифікуйте фазовий портрет за типами.

13. Наведіть алгоритм побудови фазового портрету.

14. Який розв’язок є стійким за Ляпуновим?

15. Поясніть поняття асимптотичної стійкості за Ляпуновим.

16. Що таке атрактор та репелер? Наведіть приклади.

2.3.6. Завдання для самостійної роботи

1. Розглянути систему (2.38) з матрицею коефіцієнтів А та побудувати для неї trace-determinant (Tr-Det) діаграму, яка дозволяє класифікувати точки рівноваги системи.

Зауваження2.5. Tr-Det-діаграма будується на площині О TrА DetА і починається з побудови параболи DetА= , пов’язаної з дискримінантом характеристичного рівняння системи диференціальних однорідних рівнянь (2.45).

2. Використовуючи програмне середовище Excel (або інше програмне середовище), побудувати програму розв’язання системи лінійних диференціальних рівнянь першого порядку (2.42):

з початковою умовою на інтервалі [0,1] методом Рунге-Кутта [12, 30], ітераційні формули яких подано нижче. Крок h=0,01.

Метод Рунге-Кутта для системи

Результат подати у вигляді таблиці, в якій містяться значення функції, отримані методом Ейлера та методом Рунге-Кутта. Порівняти отримані результати графічно.

Використовуючи посібники [12, 29, 30] та матеріал параграфа 2.3.2:

 побудувати алгоритм визначення власних векторів матриці коефіцієнтів системи диференціальних рівнянь (2.44, 2.47);

 для випадку наявності комплексно-спряжених характеристичних чисел _1.2 =  i відновити алгоритм переходу комплексного вигляду загального розв’язку системи (2.44) до дійсного розв’язку.