2.3.3. Типи фазових портретів. Класифікація точок рівноваги

Розглянемо динамічну систему, що задається системою лінійних диференціальних рівнянь (2.45)

,

Нехай і – корені характеристичного рівняння виду (2.45) коефіцієнтів системи.

1. Якщо і дійсні ( ), то:

1.1. Якщо і різних знаків, то фазовий портрет називається сідлом (рис. 2.9). Дві пари траєкторій проходять через стаціонарну точку, а інші виглядають так, як горизонталі на карті місцевості, котра є гірським перевалом. Саме такий тип фазового портрету системи (2.56)

прикладу 2.5. Рис. 2.9. Сідло

1.2. Якщо > 0 і > 0 , то фазовий портрет називається нестійким вузлом . Кожна фазова траєкторія примикає до особливої точки і з часом розбігається (рис 2.10). Саме таким є тип фазового портрету системи (2.54) прикладу 2.6.

Рис.2.10. Нестійкий вузол

1.3. Якщо < 0 і < 0 , то фазовий портрет називається стійким вузлом. Усі траєкторії проходять через стаціонарну точку і з часом до неї збігаються (рис. 2.11).

Рис.2.11. Стійкий вузол

2. Якщо і комплексно-спряжені:

 _1.2 =  i (див. зауваження 2.3), то

2.1. Якщо  < 0, то фазовий портрет н азивається стійким фокусом. Траєкторії асимптотично наближаються до особливої точки, навиваючись на неї у вигляді спіралей (рис. 2.12).

Рис.2.12. Стійкий фокус

2.2. Якщо  > 0 (дійсна частина додатна), то фазовий портрет називається нестійким фокусом (рис. 2.13).

Рис.2.13. Нестійкий фокус

3. Я кщо  =0, тобто характеристичні числа _1.2 =  i мають тільки уявну частину, то фазовий портрет називається граничним циклом (рис. 2.14).

Рис.2.14. Граничний цикл

Класифікація типів поведінки фазових кривих в околі особливої точки була здійснена великим французьким математиком і філософом Анрі Пуанкаре (1854—1912), який ввів також поняття граничного циклу, що відіграє найважливішу роль у різних додатках теорії диференціальних рівнянь.

Приклад 2.7. Побудувати фазовий портрет системи (2.54) (приклад 2.6.).

Розв’язання

Загальний розв’язок (x(t), y(t)) неоднорідної системи (2.56) має вигляд (2.59):

.

Розглянемо фазову площину Оху. Координати точки рівноваги системи (2.54) на фазовій площині (рис. 2.15) є (2,0).

Динаміку системи визначає загальний розв’язок однорідної системи (2.49):

,

.

Згідно з наведеною класифікацією – це сідло.

Оберемо для побудови траєкторії чотири різних набори констант (C₁,C₂), наприклад, (C₁=2, С₂ =2), (C₁=2, С₂ = – 2), (C₁=–2, С₂ =2), (C₁=–1, С₂ =–1). Кожен з наборів C₁,C₂ визначає фазову траєкторію. Для подання характеру фазового портрету досить чотирьох наборів.

Для кожного з наборів констант C₁, C₂ будемо змінювати час t від 0 з кроком 0.05 і розраховувати значення для кожного набору констант. Дані точки нанесемо на графік (рис. 2.15) з урахуванням положення точки рівноваги.

Рис. 2.15. Побудова фазового портрету системи (2.56) за допомогою програмного середовища Еxcel

Приклад 2.8. Побудувати фазовий портрет однорідного диференціального рівняння другого порядку вигляду: .

Характеристичне рівняння має вигляд: .

Корені даного характеристичного рівняння є такими: Отже, фазовий портрет є стійким вузлом.

Загальний розв’язок диференціального рівняння має вигляд:

. (2.60)

Похідна загального розв’язку є функцією .

У даному випадку фазовими змінними є функції тобто горизонтальна координатна вісь фазової площини – це вісь значень функції y (2.60), вертикальна вісь містить значення похідної .

Для побудови фазового портрету фіксуємо значення постійних С₁ і С₂ (для першої фазової траєкторії С₁=1,3, С₂ =1,2 і змінюємо t в певному інтервалі (у даному прикладі ). Цю операцію повторюємо для інших фіксованих значень С₁ і С₂ (рис. 2.16).

Рис. 2.16. Побудова в Excel фазового портрету стійкий вузол