2.3.2. Фазова площина, фазовий портрет

Аналогічно п. 2.1.3 загальний розв’язок системи (2.45) – це сім’я тривимірних інтегральних кривих у просторі Ох₁х₂ t (рис. 2.7).

Інше геометричне тлумачення можна одержати, якщо відносити систему (2.45) не до осей х₁, х₂, t тривимірного простору Ох₁ х₂ t, а до осей х₁, х₂ площини Ох₁ х₂, вважаючи t параметром. У цьому випадку система (2.45) визначає криву, рівняння якої можна одержати, виключивши з рівнянь системи параметр t.

Площина Ох₁ х₂, яку ведено до розгляду, має назву фазова площина. Крива на фазовій площині є фазовою траєкторією, частина фазової площини, яка заповнена фазовими траєкторіями називається фазовим портретом системи (2.45), функції х₁( t), х₂( t) – фазовими змінними.

а) б)

Рис. 2.8. Поведінка розв’язків системи диференціальних рівнянь

у просторі Ох₁х₂t і на фазовій площині Ох₁х₂:

а) випадок монотонної поведінки системи;

б) випадок наявності періодичного розв’язку

Відзначимо, що така інтерпретація істотно відрізняється від геометричної інтерпретації, описаної вище (див. визначення інтегральної кривої п. 2.1.3), її можна назвати кінематичною, так як в цій інтерпретації відповідно до кожного розв’язку ставиться рух точки вздовж кривої, а не крива в просторі.

Системи вигляду (2.42), (2.45) використовуються для опису еволюційних процесів. Точка фазового простору визначає стан системи у визначений момент часу. Прикладений до цієї точки вектор з координатами задає швидкість зміни стану. Точка, в якій цей вектор перетвориться на нуль , називається положенням рівноваги, особливою точкою (у нашому поданні ще й частковим розв’язком) системи (2.42).

Можна сказати, що перше рівняння в формулі (2.45) задає горизонтальну складову швидкості руху точки у фазовій площині, а друге рівняння  вертикальну складову. Зрозуміло, що, якщо в деякій точці фазової площини dx₁/dt > 0, то функція x₁(t) зростає, і розв’язок системи (2.45) рухається від цієї точки вправо, а якщо dx₁/dt<0, то вліво. Аналогічно, якщо dх₂/dt>0 (<0), то точка рухається вгору (вниз).

Порівняємо геометричну інтерпретацію системи (2.45) у просторі Ох₁ х₂ t з інтерпретацією на фазовій площині Ох₁х₂:

а) на кожну траєкторію фазової площини проектується сукупність інтегральних кривих у просторі Ох₁х₂ t. Ці криві виходять одна з одної заміною t на t  C (рис. 2.8.а).

б) якщо точка (а, b) є станом рівноваги системи Р(а, b)=0; Q(a, b) = 0, то інтегральна крива є прямою, яка рівнобіжна осі t. Ця пряма проектується на площину (х, у) у єдину точку (а, b).

в) якщо система має періодичний розв’язок з періодом , то в просторі Ох₁ х₂ t відповідна інтегральна крива являє собою спіраль з кроком . Ця спіраль проектується на фазову площину в замкнуту криву (рис. 2.8.б).

При проекції спіралі тривимірної інтегральної кривої на площину Ох₁t або Ох₂t одержимо синусоїдальну криву, що показує динаміку змінної х₁(t) або х₂(t).