Задание 6
Пусть R1 и R2 отношения заданные на множестве Х. Приведите доказательство:
Доказать, что объединение R1∪ R2 эквивалентностей R1 и R2 является эквивалентностью тогда и только тогда, когда R1∪ R2= R1º R2.
Теоретическая часть:
Отношение эквивалентности
φ=(Х,F)
Для него выполняются следующие условия:
- симметричное, если: ;
- рефлексивное, если: ;
- транзитивное, если: ;
Практическая часть
Что бы доказать эквивалентность, необходимо доказать 3 свойства:
- симметричность
- рефлексивность
- транзитивность
Т.к R1 и R2 отношения заданные на множестве Х , то и объединение R1∪ R2
Будет задано на множестве Х.
свойства симметричности и рефлексивности
сохраняются для объединения R1∪
R2 множеств.
Доказательство транзитивности:
Подставим
вместо R1∪
R2
:
Композиция отношений раскрывается в виде
Получаем:
Раскрываем скобки:
-композиция
отношений
-композиция
отношений
-композиция
отношений
Т.к R1 и R2 –отношения эквивалентности, то для них выполняется транзитивность.
По свойству
транзитивности
Отсюда получаем:
объединение R1∪ R2 эквивалентностей R1 и R2 является эквивалентностью тогда и только тогда, когда R1∪ R2= R1º R2
Задание 7
Задайте морфизмы между отношениями, являющиеся:
Мономорфизмом, но не эпиморфизмом;
Эпиморфизмом, но не мономорфизмом
Теоретическая часть:
Морфизм – перенесение свойств одного объекта на другой.
В дискретной математике под функцией
подразумевается отображение некоторого
множества
на
.
Функцией называется функциональное
соответствие:
Область определения:
Область значений:
-
тотальная, если:
-
инъективная, если:
-
всюду определенная, если:
-
сюръективная, если:
- биективная, если она тотальная, инъективная, всюду определенная и сюръективная.
и
- некоторые отношения, тогда:
;
;
Если
,
то данный морфизм – гомоморфизм между
отношениями.
Если гомоморфизм – инъективен, то он – мономорфизм.
Если гомоморфизм – сюръективен, то он – эпиморфизм.
Если гомоморфизм – биективен, то он – изоморфизм.
Практическая часть:
Мономорфизмом, но не эпиморфизмом
X
f Y
Эпиморфизмом, но не мономорфизмом
X f Y
Задание 8
Пусть
задано соответствие
= (X, Y,
),
где X = {x1,
x2,
x3,
x4,
x5}; Y
= {y1,
y2,
y3,
y4,
y5};
= {<0.1; <x1;
y1>>;
<0.9; <x1;
y3>>;
<0.4; <x2;
y2>>;
<1; <x3;
y2>>;
<0.1; <x4;
y1>>;
<0.5; <x4;
y4>>}.
Определите носитель нечеткого
соответствия, четкое соответствие
нечетко ему равное, степень нечеткости
и
-1.
Теоретическая часть:
- нечеткое множество:
,
где
-
функция принадлежности
к нечеткому множеству.
Элементы , для которых степень принадлежности к больше нуля – подмножество элементов - носитель .
Логика Заде:
Нечеткое высказывание - предложение или предположение, на основании которого можно судить о степени истинности его в настоящее время.
0 – ложное, 1 – истинное, 0.5 – индифферентно.
Операции нечеткой логики:
- высказывание, степень истинности
которого:
;
;
;
;
;
,
- нечеткие множества, тогда:
- степень включения
в
:
-
нечетко не включается в
.
-
нечетко включается в
.
-
и
нечетко равны.
;
;
;
;
Практическая часть:
Носитель нечеткого соответствия:
Четкое соответствие нечетко ему равное:
Степень нечеткости:
Инверсия -1
