Содержание теоретического курса
2.1. Элементы алгебры множеств
Понятие множества и способы его задания. Включение и равенство множеств. Операции над множествами: объединение, пересечение, разность, дополнение. Основные свойства операций над множествами. Доказательство равенств с множествами. Покрытие и разбиение множеств. Упорядочение элементов и прямое произведение множеств. Операции проектирования и инверсии множества. Композиция множеств, свойства операций композиций.
2.2. Соответствия
Определение и способы задания соответствий. Операции над соответствиями. Образ и прообраз множества при данном соответствии. Основные свойства соответствий: функциональность, инъективность, сюръективность, всюду определенность, биективность. Отображения и функции. Обратная функция.
2.3. Отношения
Определение и способы задания отношений. Основные свойства отношений: рефлексивность, антирефлексивность, симметричность, антисимметричность, асимметричность, транзитивность, связность. Отношение эквивалентности. Отношение порядка. Отношение строгого порядка. Отношение доминирования. Морфизмы отношений.
2.4. Нечеткие множества
Определение и способы задания нечетких множеств. Нечеткие высказывания. Операции над нечеткими множествами. Нечеткие соответствия. Нечеткие отношения.
2.5. Элементы общей алгебры
Понятие алгебры и подалгебры. Алгебраические структуры. Числовые кольца, числовые поля. Определение алгебраической операции и обратной ей операции. Произвольное кольцо и поле. Универсальная алгебра. Алгебра Буля и Жегалкина. Переход от одной алгебры к другой.
2.6. Булевы функции
Разложение булевых функций по переменным. Совершенные дизъюнктивная и конъюнктивная нормальные формы булевых функций. Пять классов булевых функций: класс функций, сохраняющих константу 0, класс функций, сохраняющих константу 1, класс самодвойственных функций, класс монотонных и класс линейных функций. Понятие функциональной полноты системы булевых функций. Теорема о функциональной полноте системы булевых функций.
2.7. Минимизация булевых функций
Постановка задачи минимизации булевых функций в классе дизъюнктивных нормальных форм. Определение минимальной ДНФ. Алгоритм минимизации булевых функций Квайна и Мак-Класки. Минимизация булевых функций с помощью диаграмм Вейча (карт Карно).
Задания Задание 1
Доказать или опровергнуть всеми известными Вам методами для произвольных множеств справедливость следующих утверждений (при доказательстве указывать используемые определения, правила, законы и эквивалентные преобразования):
Теоретическая часть:
Множество – совокупность некоторых элементов, объединенных каким либо свойством.
Характеристический предикат – некоторое условие, выраженное в форме логического утверждения или процедуры, возвращающей логическое значение. Если для данного элемента условие выполняется, то этот элемент принадлежит множеству, иначе – не принадлежит.
- пустое множество, множество, не
содержащее ни одного элемента.
Множества равны, если они состоят из одних и тех же элементов.
Два множества не равны, если в одном из множеств есть элемент, не принадлежащий другому множеству.
X подмножество Y,
если
;
X и Y равны
Операции над множествами:
Свойства:
Если в некотором рассмотрении участвуют только лишь подмножества некоторого фиксированного I, то это самое большое множество – универсум.
При доказательствах были использованы законы алгебры логики для простых и составных высказываний:
-
логические утверждения, тогда:
;
- идемпотентность
;
;
- закон противоречия
- закон исключения третьего
- закон двойного отрицания
;
- законы де Моргана
;
- коммутативность
;
- ассоциативность
;
- дистрибутивность
Практическая часть
Метод взаимного включения
Пусть A\(BC)=M, а (A\B)(A\C)=N , тогда, если мы докажем, что MN, и NM то равенство верно
MN
NM
Метод диаграмм Эйлер-Вена
Из диаграмм видно,
Метод доказательства от противного.
здесь и далее
использовано следующее тождество
Таким образом, исходное предположение неверно и
Метод эквивалентных преобразований.
Преобразуем выражение , если оно будет равно , то утверждение будет доказано.
здесь и далее использовано следующее тождество
Метод от противного
Значит
Метод тождественных преобразований
Метод диаграмм Эйлера-Вена
Из рисунков видно, что разница
и
равна пустому множеству.