25. Определения.

Внутренней точкой множества в -мерном пространстве называется такая точка множества , которая принадлежит ему вместе с некоторой окрестностью.

Множество, состоящее целиком из внутренних точек, называется открытой областью.

Точкой сгущения множества называется такая его точка , в каждой окрестности которой содержится хотя бы одна точка множества , отличная от .

Пограничными точками открытой области называются точки сгущения, не принадлежащие самой области.

Граница области – совокупность её пограничных точек.

Открытая область в совокупности с её границей называется замкнутой областью.

Примерами областей являются параллелепипед и сфера.

25. Определение (по Коши). Число b называется пределом функции в точке А (при ), где точки – некоторому множеству пространства E^m, если такое, что , , выполняется неравенство .

Обозначение: .

155. Теорема (о связи между двойными и повторными пределами). Если

1) существует (конечный или нет) двойной интеграл и

2) существует конечный простой предел по ,

то существует повторный предел , равный двойному.

105. Определение. Частной производной функции по аргументу во внутренней точке области определения этой функции называется (если предел существует).

Физический смысл частной производной: – это скорость изменения функции в точке М в направлении оси .

105. Определение. Дифференциалом (или первым дифференциалом) функции в точке называется линейная функция аргументов :

или, если считать, что , то

.

Инвариантность формы первого дифференциала: сохранение предыдущей формулы в том случае, когда , но только теперь являются не произвольными приращениями переменных (как в случае, когда – независимые переменные), а дифференциалами функций в точке , причем , , …, , т.е.

.

107. Теорема (о достаточных условиях равенства смешанных производных)

Пусть функция от переменных определена в открытой -мерной области и имеет в ней все частные производные до -го порядка включительно и смешанные производные -го порядка, причём все эти производные непрерывны в (т.е. ). Тогда значение любой -й производной не зависит от того порядка, в котором производятся последовательные дифференцирования.

Коротко: непрерывные смешанные производные всегда равны.

Контрпример: у функции двух переменных (при ), смешанные производные ( ) вовсе не имеют предела при , т.е. терпят в точке разрыв. Теорема неприложима.

108. Определение. Функция в точке имеет максимум (минимум), если её можно окружить такой окрестностью

,

чтобы для всех точек этой окрестности выполнялось неравенство

.

Если выполняется строгое неравенство, то – собственный максимум (минимум), иначе – несобственный.

108. Теорема. Обращение в нуль частных производных первого порядка является необходимым условием существования экстремума.

Как и в случае функций одной переменной, точки, удовлетворяющие этим условиям, называются стационарными.

108. Обозначим: .

Теорема (достаточные условия экстремума функции двух переменных).

Если , то в стационарной точке функция имеет экстремум, а именно: максимум при и минимум при . В случае, если , экстремума нет.

Для решения вопроса при следует привлекать высшие производные.

108. Определение. Неявная функция – это решение уравнения относительно y, т.е. , где Х – некоторое множество.

Теорема 1 (о существовании неявной функции).

Предположим, что

1. функция определена и непрерывна в некотором прямоугольнике

с центром в точке ;

2. в этой точке обращается в нуль: ;

3. при постоянном функция монотонно возрастает (или монотонно убывает) с возрастанием .

Тогда

а) в некоторой окрестности точки уравнение определяет y как однозначную функцию от x: ;

б) при эта функция принимает значение : ;

наконец,

в) функция непрерывна.

Теорема 2.

Предположим, что

1. функция определена и непрерывна в прямоугольнике

с центром в точке ;

2. частные производные и существуют и непрерывны в D;

3. в точке обращается в нуль: ;

наконец,

4. производная отлична от нуля.

Тогда выполняются заключения а), б), в) теоремы 1 и, кроме того,

г) функция имеет непрерывную производную, вычисляемую по формуле

.

108. Понятие зависимости и независимости функций.

Пусть n функций

(*)

определены и дифференцируемы в некоторой области .

Определение 1. Функция называется зависимой в области D от остальных функций из указанной совокупности (*), если ее можно представить в виде , где Ф – дифференцируемая функция своих аргументов.

Определение 2. Функции (*) называются зависимыми в области D, если одна из них (безразлично какая) зависит в этой области от остальных функций. Если же ни одна из функций (*) не зависит от остальных, то функции (*) называются независимыми в области D.

108. Теорема (достаточное условие независимости функций).

Пусть функции

, …, ,

где , дифференцируемы в окрестности точки , и пусть якобиан

этих функций по каким-либо переменным не равен нулю в точке .

Тогда эти функции независимы.

Следствие. Если функции зависимы в , то все якобианы равны нулю в .

Определение. Матрица из частных производных

называется функциональной матрицей (матрицей Якоби или просто якобианом).

Теорема (общая теорема о зависимости и независимости функций). Пусть:

1^о) функции

дифференцируемы в окрестности точки , а частные производные непрерывны в точке ;

2^о) функциональная матрица А имеет минор r-го порядка, не равный нулю в точке ;

3^о) все миноры -го порядка матрицы А (если такие имеются) равны нулю в точке .

Тогда r функций, представленных в указанном миноре r-го порядка, независимы в , а каждая из остальных функций зависит в некоторой окрестности точки от этих r функций.

108. Определение. Функция имеет в точке условный минимум (максимум) при условиях связи

, (*)

если существует такая окрестность точки , что для любой точки этой окрестности, координаты которой удовлетворяют уравнениям (*), выполняется неравенство .

108. Формулы перехода от прямоугольных координат к цилиндрическим координатам (угол отсчитывается от положительного направления оси Ох до проекции точки на плоскость Oxy):

Иногда для берется промежуток .

Якобиан этого отображения .

Координатная поверхность представляет собой цилиндрическую поверхность – отсюда и название "цилиндрические координаты", поверхность – полуплоскость и поверхность – плоскость .

Определение. Кривые, на которых две криволинейные координаты имеют постоянные значения, и изменяется только одна из координат, представляют собой координатные линии.

Здесь (для цилиндрических координат): координатная линия – полупрямая (луч), – окружность, z – прямая.

108. Формулы перехода от прямоугольных координат к сферическим координатам :

(иногда в качестве угла берется угол между проекцией направления в точку и самим этим направлением, со знаком плюс, если , и со знаком минус, если . В этом случае , а в формулах перехода нужно заменить на и наоборот).

Якобиан этого отображения:

(в случае второго способа выбора угла якобиан равен ).

Координатная поверхность представляет собой сферу – отсюда и название "сферические координаты", поверхность – конус с вершиной в начале координат, поверхность – полуплоскость.

108. Объем V кубируемой области Т (кубируемого тела) в пространстве выражается формулой . Переходя к новым переменным u, v, w по формулам , отображающим область пространства на область Т пространства , получим выражение объема области Т в криволинейных координатах:

.

Элемент объема в криволинейных координатах выражается формулой:

.

Модуль якобиана представляет собой коэффициент растяжения объема в точке при отображении области пространства на область Т пространства .

108. Криволинейный интеграл первого рода.

Пусть L – простая, спрямляемая (замкнутая или незамкнутая) кривая, заданная параметрическими уравнениями , и пусть на кривой L определена функция . Разобьем сегмент на n частей точками . При этом кривая L разобьется на n частей точками . Обозначим через длину дуги , выберем на каждой такой дуге некоторую точку и составим интегральную сумму . Пусть .

Число I называется пределом интегральных сумм при , если такое, что для любого разбиения кривой L, у которого , и для любого выбора промежуточных точек выполняется неравенство .

Если существует , то число I называется криволинейным интегралом первого рода от функции по кривой L и обозначается .

108. Криволинейный интеграл второго рода.

Пусть АВ – простая, спрямляемая незамкнутая кривая, заданная параметрическими уравнениями . Пусть на кривой АВ заданы две функции . Разобьем сегмент на n частей точками . При этом кривая АВ разобьется на n частей точками в направлении от А к В. Пусть – координаты точки – длина дуги , . Выберем на каждой такой дуге некоторую точку и составим интегральные суммы , .

Определение. Число называется пределом интегральных сумм при , если такое, что для любого разбиения кривой АВ, у которого , и для любого выбора промежуточных точек выполняется неравенство .

Если существует , то он называется криволинейным интегралом второго рода и обозначается , .

Сумма называется общим криволинейным интегралом второго рода и обозначается так: .

108. Формула Грина. Пусть G – ограниченная область на плоскости (x,y) с кусочно-гладкой замкнутой границей Г. При условии непрерывности функций , , , на имеет место формула .

108. Способы задания поверхности ( ):

1. явное: уравнением , а также или ;

2. неявное: уравнением ;

3. параметрическое: , , где – непрерывные функции в области g. Переменные u и v называются параметрами.

108. Определение. Поверхность Ф называется гладкой, если для любой ее внутренней точки существует такая окрестность, которая вырезает часть поверхности Ф, допускающую явное представление вида , или , где f – непрерывно дифференцируемая функция.

Из этого определения следует, что в каждой внутренней точке гладкой поверхности, заданной, например, уравнением

,

существует касательная плоскость и нормаль.

Уравнение касательной плоскости в точке поверхности над точкой имеет вид

.

Вектор нормали:

.

108. Определение. Поверхностный интеграл 1-го рода.

Пусть на квадрируемой поверхности Ф определена функция . Разобьем Ф кусочно-гладкими кривыми на n квадрируемых частей . На каждой части выберем произвольную точку и составим интегральную сумму , где – площадь . Пусть – диаметр , .

Число I называется пределом интегральных сумм при , если такое, что для любого разбиения Ф, у которого , и для любого выбора точек выполняется неравенство .

Предел I интегральных сумм называется поверхностным интегралом первого рода от функции по поверхности Ф и обозначается или .

108. Определение. Поверхностный интеграл 2-го рода.

Пусть Ф – гладкая или кусочно-гладкая ограниченная поверхность. Выберем одну из ее сторон, определяемую полем нормалей . Пусть – углы, которые вектор составляет с осями координат, и пусть на поверхности Ф заданы три функции .

Определение. Поверхностные интегралы первого рода

называются поверхностными интегралами второго рода соответственно от функций P, Q, R по выбранной стороне поверхности Ф.

Они обозначаются также следующим образом:

.

Сумма называется общим поверхностным интегралом второго рода.

Физический смысл поверхностного интеграла второго рода.

Запишем общий поверхностный интеграл второго рода в виде

.

Направляющие косинусы являются координатами единичного вектора нормали n(M) к поверхности Ф в точке М. Если ввести вектор , то подынтегральное выражение будет представлять собой скалярное произведение векторов а(M) и n(M), а интеграл П можно записать в виде . Последний интеграл называется потоком вектора (векторного поля) через выбранную сторону поверхности Ф (определяемую вектором n(M)). В частности, если – скорость течения жидкости в точке М, то представляет собой поток жидкости через выбранную сторону поверхности Ф.

108. Определение. Трехмерная область G называется поверхностно односвязной, если для любого замкнутого контура L, лежащего в G, внутри области G найдется поверхность, ограниченная контуром L.

Примеры: шар, область между концентрическими сферами.

Пример поверхностно неодносвязной области – тор.

108. Определение 1. Говорят, что в области G трехмерного пространства задано скалярное поле, если каждой точке поставлено в соответствие некоторое число u(M).

Поверхность (линия), на которой функция u(M) принимает постоянное значение, называется поверхностью (линией) уровня скалярного поля.

Примеры:

1) поле температур какого-либо тела;

2) поле плотности зарядов на какой-либо поверхности или в сплошной среде;

3) поле плотности масс какого-либо тела.

Определение 2. Говорят, что в области G трехмерного пространства задано векторное поле, если каждой точке поставлен в соответствие некоторый вектор а(M).

Кривые, в каждой точке М которых вектор а(M) направлен по касательной к кривой, называются векторными линиями.

Примеры:

1. электрическое поле системы электрических зарядов, характеризующееся в каждой точке вектором напряженности Е;

2. магнитное поле, создаваемое электрическим током и характеризующееся в каждой точке вектором магнитной индукции В;

3. поле тяготения, создаваемое системой масс и характеризующееся в каждой точке вектором силы тяготения F, действующей в этой точке на единичную массу;

4. поле скоростей потока жидкости, описываемое в каждой точке вектором скорости v.

108. Определение 1. Поверхность (линия), на которой функция u(M) принимает постоянное значение, называется поверхностью (линией) уровня скалярного поля.

Определение 2. Геометрической характеристикой векторного поля а(М) являются векторные линии – кривые, в каждой точке М которых вектор а(М) направлен по касательной к кривой.

108. Скалярное и векторное поля u(M) = u(x, y, z) и a(M) = {P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y,z)} называются дифференцируемыми n раз, если функции u(x, y, z), P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) дифференцируемы n раз. Будем считать, что рассматриваемые поля дифференцируемы нужное число раз.

Пусть u(M) – скалярное поле, заданное в области G; l – единичный фиксированный вектор; М – фиксированная точка; М′ – любая точка из G, отличная от М и такая, что вектор ММ′ коллинеарен l. Пусть также ММ′ – величина направленного отрезка ММ′ (она равна его длине , если векторы и l сонаправлены, и равна – , если они противоположно направлены).

Определение 1. Число называется производной скалярного поля u(M) (функции u(M)) в точке М по направлению l и обозначается символом .

Производная по направлению является скоростью изменения функции u(M) по направлению l в точке М.

Если в прямоугольной системе координат Oxyz l = { }, то

(эта формула показывает связь производной скалярного поля по направлению с частными производными).

Определение 2. Вектор называется производной векторного поля а(М) (вектор-функции а(М)) в точке М по направлению l и обозначается символом .

Если в прямоугольной системе координат Oxyz a(M) = {P, Q, R}, то

.

Эта формула показывает связь производной векторного поля по направлению с частными производными.

108. Определение. Градиентом скалярного поля u(x, y, z) называется вектор-функция

grad u = .

Производная по направлению l связана с градиентом скалярного поля в данной точке следующим образом:

.

108. Определение. Векторное поле а(М) называется потенциальным в области G, если его можно представить в этой области как градиент некоторого скалярного поля u(M): .

Функция u(M) называется скалярным потенциалом векторного поля а(М). Если a = {P, Q, R}, то

.

Примеры потенциальных полей:

1. Поле тяготения точечной массы m, помещенной в начале координат.

2. Электрическое поле точечного заряда е, помещенного в начале координат.

Поверхности уровня потенциала u(M) называются эквипотенциальными поверхностями. В рассмотренных примерах эквипотенциальными поверхностями являются сферы с центром в начале координат.

108. Определение. Дивергенцией векторного поля а = P(x, y, z)i + Q(x, y, z)j + R(x, y, z)k называется скалярная функция

div a = .

Дивергенция характеризует плотность источников данного векторного поля в рассматриваемой точке.

108. Определение. Ротором (или вихрем) векторного поля а = P(x, y, z)i + Q(x, y, z)j + R(x, y, z)k называется вектор-функция

rot a = = .

Ротор характеризует завихренность поля а в данной точке.

108. Определение. Векторное поле называется безвихревым, если его ротор равен нулю.

Примером безвихревого поля является потенциальное поле.

108. Определение. Векторное поле а(М) называется соленоидальным в области G, если в этой области

div a = 0.

Так как div a характеризует плотность источников поля а, то в той области, где поле а соленоидально, нет источников этого поля.

Примеры:

1. Электрическое поле Е точечного заряда соленоидально всюду вне точки, где находится заряд.

2. Магнитное поле, создаваемое током в проводнике.

Любое векторное поле можно представить в виде суммы потенциального и соленоидального полей.

108. Определения. Векторное поле а(М) называется потенциальным в области G, если его можно представить в этой области как градиент некоторого скалярного поля u(M): .

Функция u(M) называется скалярным потенциалом векторного поля а(М).

Если векторное поле а(М) можно представить как ротор некоторого векторного поля b(M), т. е.

а = rot b,

то вектор-функция b(M) называется векторным потенциалом поля а(М).

108. Уравнения Максвелла – фундаментальные уравнения классической электродинамики, описывающие электромагнитные явления в любой среде (и в вакууме). Они связывают величины, характеризующие электромагнитное поле, т.е. напряженность электрического поля Е, электрическую индукцию D, напряженность магнитного поля Н и магнитную индукцию В с источником поля, т. е. с распределением в пространстве электрических зарядов и токов.

В дифференциальной форме уравнения Максвелла записываются с помощью понятий дивергенции и ротора:

1. rot H = j + .

Это уравнение является обобщением закона Био-Савара и выражает тот факт, что магнитное поле порождается токами проводимости и токами смещения.

2. rot E = – .

Это уравнение выражает закон электромагнитной индукции Фарадея и показывает, что одним из источников электрического поля является изменяющееся во времени магнитное поле.

3. div B = 0.

Это уравнение выражает факт отсутствия магнитных зарядов (соленоидальность магнитного поля).

4. div D = ρ.

Это уравнение выражает закон Кулона и показывает, что вторым источником электрического поля являются электрические заряды с плотностью ρ.

К уравнениям Максвелла следует присоединить так называемые материальные уравнения поля.

5. D = εE.

6. B = µH.

7. j = σE

Здесь ε – диэлектрическая проницаемость, µ – магнитная проницаемость, σ – удельная проводимость среды.

108. Оператор Гамильтона. Символ называется оператором частной производной по x. Под произведением этого оператора на функцию u = u(x, y, z) будем понимать частную производную , т. е. . Аналогично, и – операторы частных производных по y и по z.

Тогда, с учетом введенных обозначений, введем векторный оператор «набла», или оператор Гамильтона:

.

108. В результате формального умножения вектора (оператора Гамильтона) на скалярную функцию u(x, y, z) получается градиент скалярного поля grad u:

grad u.

Скалярное произведение вектора на вектор-функцию a(x, y, z) = Pi + Qj + Rk дает дивергенцию векторного поля div a:

div a.

Векторное произведение вектора на вектор-функцию a(x, y, z) = Pi + Qj + Rk дает ротор векторного поля rot a:

= rot a.

Формулу для производной скалярного поля по направлению l с помощью оператора можно записать в виде .

Символ называется оператором производной по направлению l.

Используя оператор производной по направлению, запишем с помощью оператора Гамильтона производную векторного поля а по направлению l:

.

108. Пусть в области G определено нестационарное скалярное поле : величина u является функцией точки и времени t. Рассмотрим движущуюся в области G точку . Координаты точки изменяются со временем по известному закону , , . Величина u в движущейся точке М является сложной функцией t: .

Вычислим производную по t этой функции (она называется полной производной). По правилу дифференцирования сложной функции находим

.

Введем в точке М вектор скорости = {V_x, V_y, V_z} = . Тогда

или

. (*)

Аналогично, если в области G задано нестационарное векторное поле , то для движущейся точки векторная величина а является сложной функцией t: . Полную производную по t для каждой координаты вектор-функции а можно вычислить по формуле (*). Умножая результаты на базисные векторы i, j, k и складывая, получим

. (**)

(называется субстанциональной производной)

В формулах (*) и (**) слагаемые и выражают скорости изменения величин u и а со временем при фиксированных координатах, т. е. характеризуют локальное изменение этих величин, и поэтому называются локальными производными. Слагаемые и образуются за счет изменения координат точки, ее движения (конвекции). Поэтому эти слагаемые в выражениях полных производных называются конвективными производными.

Локальные производные характеризуют нестационарность рассматриваемого физического поля в данной точке пространства. Конвективные производные характеризуют неоднородность поля в данный момент времени.

108. Пусть в области G заданы скалярное поле и векторное поле , причем функции u, P, Q, R имеют в области G непрерывные частные производные второго порядка. Тогда и являются дифференцируемыми векторными полями, а – дифференцируемым скалярным полем.

К векторным полям и можно применить операции вычисления дивергенции и ротора, а к скалярному полю – операцию вычисления градиента. Таким образом, получаем повторные операции: div grad u, rot grad u, div rot a, rot rot a, grad div a.

Операцию div grad называют оператором Лапласа и обозначают символом ∆.

108. rot grad u = [ ∙ u] = 0 (потенциальное поле grad u является безвихревым) и

div rot a = ( [ ∙a]) = 0 (векторное поле rot a является соленоидальным).

108. Определение. Операцию div grad называют оператором Лапласа и обозначают символом ∆.

С помощью оператора Гамильтона оператор Лапласа для скалярного поля u(M) записывается в виде ∆u = div grad u = ( ∙( u)) = ∆²u = .

108. Определение. Функция u, удовлетворяющая в некоторой области уравнению Лапласа ∆u = 0, называется гармонической в этой области. Например, линейная функция является гармонической в любой области. Кроме того, потенциал электрического поля точечного заряда или поля тяготения точечной массы, имеющий вид ( , ), при удовлетворяет уравнению Лапласа.

108. Теорема. Произвольное непрерывно дифференцируемое векторное поле а(М) может быть представлено в виде

a(M) = а₁(М) + а₂(М), (*)

где а₁ − потенциальное поле, а₂ − соленоидальное поле.

Доказательство. Если функция u есть решение уравнения , то, полагая (по определению потенциального поля), (чтобы векторное поле а₂(М) было соленоидальным, оно должно удовлетворять условию ), тогда

,

откуда ∆u = div a(M)), и получаем представление поля а(М) в виде (*), ч. т. д.

Уравнение – неоднородное уравнение в частных производных второго порядка, называемое уравнением Пуассона: ∆u ≡ = f, .

108. Рассмотрим векторное поле а(М), определенное в пространственной области G, и некоторую кусочно-гладкую ориентированную поверхность Ф G. Пусть n(M) − поле единичных нормалей на выбранной стороне поверхности Ф.

Определение. Поверхностный интеграл = называется потоком векторного поля a(M) через поверхность Ф в сторону, определяемую вектором n (говорят также: поток через выбранную сторону поверхности Ф).

Если в системе координат Oxyz a = {P, Q, R}, а n = {cos α, cos β, cos γ}, то выражение для потока векторного поля а(М) можно записать в виде

.

Каждое слагаемое в правой части последнего равенства зависит от выбора системы координат, однако их сумма, т. е. поток , не зависит от выбора системы координат.

108. Примеры потоков физических векторных полей через заданные поверхности:

1. Если а = v – скорость движущейся жидкости, то представляет собой количество (объем) жидкости, протекающей через поверхность Ф в заданную сторону в единицу времени. Эта величина называется в физике потоком жидкости через поверхность Ф.

2. Электрическое поле Е точечного заряда е, помещенного в точку N.

108. Пусть в области G определено векторное поле a = {P, Q, R}; Ф – замкнутая поверхность, ограничивающая область G; n(M) = {cosα, cosβ, cosγ} – единичный вектор внешней нормали к поверхности Ф в точке М.

Теорема. Пусть функции P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) и их частные производные непрерывны в простой замкнутой области G, ограниченной кусочно-гладкой поверхностью Ф.

Тогда справедлива формула

,

где поверхностный интеграл берется по внешней стороне поверхности.

Другая запись:

.

Эта формула называется формулой Остроградского-Гаусса.

Подынтегральная функция в тройном интеграле есть div a, а поверхностный интеграл представляет собой поток векторного поля а через поверхность Ф. Поэтому вышеприведенную формулу можно записать в векторной форме:

а dV = .

Физический смысл формулы Остроградского-Гаусса: поток векторного поля а через замкнутую поверхность в сторону внешней нормали равен тройному интегралу по области, ограниченной этой поверхностью, от дивергенции векторного поля а.

Чтобы поток был отличен от нуля, внутри области G должны быть источники (или стоки) поля. Из формулы Остроградского-Гаусса следует, что тогда и div a будет отлична от нуля. Таким образом, div a характеризует источники поля. Само векторное поле как бы расходится от источников.

108. Определение. Если кусочно-гладкая замкнутая поверхность Ф полностью лежит в области G вместе с областью, ограниченной поверхностью Ф, то область G называется объёмно-односвязной.

Примерами объемно односвязных областей являются шар, параллелепипед, тор. Область, заключенная между двумя сферами, не является объемно односвязной.

108. Слово «соленоидальное» означает «трубчатое». Для соленоидального поля имеет место закон сохранения интенсивности векторной трубки. Он состоит в следующем.

В соленоидальном (трубчатом) векторном поле а поток через любое сечение векторной трубки имеет одно и то же значение.

108. Пусть в области G, ограниченной поверхностью Ф, определено векторное поле а(М). Формула дает инвариантное определение дивергенции векторного поля, т. е. дивергенция векторного поля зависит только от самого поля и не зависит от выбора системы координат.

108. Рассмотрим векторное поле а(М), определенное в пространственной области G, и некоторую кусочно-гладкую кривую L G, на которой указано направление обхода (выбор направления обхода называют также ориентацией кривой). Пусть τ(M) – единичный касательный вектор к кривой L в точке М, направленный в сторону обхода кривой.

Определение. Криволинейный интеграл называется циркуляцией векторного поля а вдоль кривой L в заданном направлении.

Если в прямоугольной системе координат Oxyz a = {P, Q, R}, а τ = {cosα, cosβ, cosγ}, то выражение для циркуляции векторного поля а можно записать в виде

= . (*)

Каждое слагаемое в правой части (*) зависит от выбора системы координат, однако их сумма, т. е. циркуляция не зависит от выбора системы координат.

Если ввести вектор dr = {dx, dy, dz}, то циркуляцию можно записать в виде

.

108. Формула Стокса.

Пусть в области G определено векторное поле ; L – замкнутый контур, лежащий в области G; Ф – произвольная поверхность, границей которой является контур L; Ф G (говорят: поверхность Ф натянута на контур L); – единичный вектор нормали на выбранной стороне поверхности Ф.

Поверхность Ф называется xyz-проектируемой, если она однозначно проектируется на каждую координатную плоскость прямоугольной системы координат Oxyz.

Теорема. Пусть гладкая xyz проектируемая ориентированная поверхность Ф ограничена кусочно-гладким контуром L и расположена внутри области G, в которой функции P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) имеют непрерывные частные производные первого порядка. Тогда справедлива формула Стокса

,

где контур L обходится в положительном направлении.

Иначе:

,

где ориентация контура L согласована с ориентацией поверхности Ф. Левая часть формулы Стокса есть циркуляция векторного поля а вдоль контура L, а правая часть представляет собой поток через поверхность Ф векторного поля с координатами , , , т. е. поток rot a через поверхность Ф.

Поэтому формулу Стокса можно записать в векторной форме:

или

,

где τ(M) – единичный касательный вектор к кривой L в каждой её точке М, направленный в сторону обхода кривой.

Физический смысл формулы Стокса: циркуляция векторного поля а вдоль замкнутого контура равна потоку ротора векторного поля а через поверхность, натянутую на этот контур.

108. Пусть дано векторное поле а(М) = {P, Q, R}.

Условие rot a = 0 является необходимым и достаточным условием потенциальности поля а(М) в поверхностно односвязной области

.

Потенциал потенциального поля а(М) = {P, Q, R} в поверхностно односвязной области можно вычислить по формуле:

u(x,y,z) = = + + .

108. Пусть в области G определено векторное поле а(М). Зафиксируем точку М и некоторую плоскость, проходящую через эту точку. Пусть n – единичный вектор нормали к плоскости, L – замкнутый контур, лежащий в плоскости и ограничивающий область Ф такую, что М – внутренняя точка области Ф. τ(M) – единичный касательный вектор к кривой L в точке М, направленный в сторону обхода кривой L.

Рассмотрим формулу

(rot a∙n)_M = .

В правую часть формулы входят величины, инвариантные относительно выбора системы координат (циркуляция векторного поля вдоль замкнутого контура и площадь плоской области). Поэтому данная формула дает инвариантное определение проекции rot a в точке М на направление, определяемое заданным вектором n.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Тригонометрические тождества

Тригонометрические функции

суммы и разности двух аргументов

Тригонометрические функции

двойного аргумента

Тригонометрические функции

половинного аргумента

Выражения тригонометрических функций через tg половинного аргумента

Суммы и разности

тригонометрических функций

Произведения

тригонометрических функций

Другое

Комбинаторика

Число перестановок из n элементов:

Число размещений

из n элементов по m элементов:

.

Число сочетаний

из n элементов по m элементов:

.