Функция распределения вероятностей и плотность вероятности.

Непрерывные случайные величины характеризуются тем, что их значения могут сколь угодно мало отличаться друг от друга.

Вероятность события (где значение непрерывной случайной величины, а произвольно задаваемое значение), рассматриваемая как функция от , называется функцией распределения вероятности:

.

Производная от функции распределения называется функцией плотности распределения вероятностей или плотностью вероятности:

Функция распределения вероятностей выражается через плотность вероятности в виде интеграла:

.

Вероятность попадания случайной величины в интервал равна приращению функции распределения вероятностей на этом интервале:

.

Числовые характеристики непрерывной случайной величины.

Определение. Cсредним значением или математическим ожиданием непрерывной случайной величины называется значение интеграла

где – плотность вероятности.

Дисперсией непрерывной случайной величины называется значение интеграла

Для определения дисперсии также может быть ипользована формула

Задача 23. Случайная величина задана плотностью вероятностей

Определить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение величины Х.

Решение. М(Х) = = = ;

D(Х) = = = ;

(Х) = = .

Равномерное распределение

Задача 24. На отрезке [a;b] наугад указывают точку. Какова вероятность того, что эта точка окажется в левой половине отрезка?

Решение. Обозначим через Х случайную величину, равную координате выбранной точки. Х распределена равномерно (в этом и состоит точный смысл слов Ωb)/2, то искомая вероятность равна:

Р( а < X < )= = .

Задача 25. Непрерывная случайная величина Х, равномерно распределена в интервале (2,6). Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, интегральную и дифференциальную функции. Найти вероятность того, что случайная величина примет значение меньшее 5.

Решение. Числовые характеристики вычислим, используя упрощенные формулы для равномерно распределенной случайной величины принимающей все свои значения в интервале (а,в):

,

0 при 0 при

при ; F(x)= при .

1 при 1 при

0 при х<a 0 при

f(x) = С при a x , где С= ; f(x)= при .

0 при x>b 0 при

Нормальный закон распределения

Задача 26. Случайная величина Х распределена по нормальному закону с параметрами . Найти < .

Решение. Используя формулу < , имеем < = . По таблице найдем Ф(0,3) = 0,1179. Поэтому < = 0,2358.

Список литературы.

1. Общий курс высшей математики для экономистов.( под ред. В.И. Ермакова). М.: ИНФРА-М, 2008.

1. Сборник задач по высшей математике для экономистов.( под ред. В.И. Ермакова). М.: ИНФРА-М, 2008.

2. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Математика для экономистов. СПб.: Питер, 2007.

3. Клюшин В.А. Высшая математика для экономистов. М.: ИНФРА, 2009.

4. Справочник по математике для экономистов.( под ред. В.И. Ермакова). М.: ИНФРА-М, 2007.

5. Замков О.ОО, Черемных Ю.А., Толстопятенко А.В. Математические методы в экономике. М.: Дело и сервис, 1999.

Задание 1. Варианты 1-10.

1. Эксперт оценивает качественный уровень трех видов изделия по потребительским признакам. Вероятность того, что изделию первого вида будет присвоен знак качества, равна 0,9; для изделия второго вида это вероятность равна 0,8; а для качества будет присвоена: а) всем изделиям; б) только одному изделию; в) хотя бы одному изделию.

2. В партии товара, состоящей из 30 мужских пальто, находится 20 изделий местного производства. Товаровед наудачу отбирает три изделия. Какова вероятность, что все три изделия окажутся: а) местного производства; б) не местного производства.

3. В магазин поступает минеральная вода в бутылках от двух изготовителей: местного и иногороднего, -причем местный изготовитель поставляет 40% всей продукции. Вероятность того, что при транспортировке бутылка окажется разбитой, для местной продукции 0,5%, а для иногороднего 2%. Найти вероятность того, что взятая наудачу бутылка окажется неразбитой. Какова ожидаемая доля (в %) разбитых бутылок?

4. Магазин приобретает чай у двух фабрик. При этом первая из них поставляет 2/3 всего товара. Продукция высшего сорта для первой фабрики составляет 90%. А для второй 80%. Найти вероятность того, что купленная наугад пачка чая будет высшего сорта.

5. Для трех розничных торговых предприятий определен плановый уровень прибыли. Вероятность того, что первое предприятие выполнит план по прибыли, равна 90%. Для второго она составляет 95%. Для третьего 100%. Какова вероятность того, что плановый уровень прибыли будет достигнут: а) всеми предприятиями; б) только двумя предприятиями; в) хотя бы одним предприятием.

6. Для магазина потребительский кооперации куплены два холодильника. Вероятность того, что каждый из них выдержит гарантийный срок службы составляет 90%. Найти вероятность того, что в течение гарантийного срока: а) оба холодильника не потребуют ремонта; б) только один из них потребует ремонта; в) хотя бы один не потребует ремонта.

7. В партии из 10 радиоприемников имеется два неисправных. Наудачу отобраны два радиоприемника. Каковы возможные случаи их выбора и соответствующие им вероятности?

8. В партии из 8 телевизоров половина не настроены. Наудачу отобраны три телевизора. Какова вероятность того, что в число отобранных попадает хотя бы один настроенный?

9. В партии из 80 одинаковых по внешнему виду изделий смешаны 30 изделий I сорта и 50 изделии II сорта. Найти вероятность того, что взятые наудачу два изделия окажутся: а) одного сорта, б)разных сортов.

10. В двух ящиках находятся радиолампы. В первом ящике -12 ламп. Из них 1 нестандартная; во втором -10 ламп, из них 2 нестандартные. Из первого ящика наудачу была взята лампа и переложена во второй. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная из второго ящика лампа будет нестандартной.

Задание 2. Оптовая база снабжает товаром n магазинов. Вероятность того, что в течение дня поступит заявка на товар, равна р для каждого магазина. Найти вероятность того, что в течение дня: а) поступит к заявок; б) не менее и не более заявок; в) поступит хотя бы одна заявка. Каково наивероятнейшее число поступающих в течение дня заявок и чему равна соответствующая ему вероятность?

11.	0,4	8	5	4	6
12.	3	7	4	0	2
13.	0,2	6	3	2	4
14.	0,5	5	0	1	3
15.	0,1	4	2	2	4
16.	0,2	12	5	4	10
17.	0,3	15	3	5	12
18.	0,4	20	1	10	15
19.	0,5	19	8	7	11
20.	0,1	10	6	2	8