§2. Виды случайных событий.

В теории вероятностей вместо «совокупности условий» используют термин «испытание». Тогда событие трактуется как результат испытания. Например, стрельба по мишени: выстрел это–испытание, попадание в мишень–событие.

Определение 3. События называют несовместными, Если в одном и том же испытании появление одного из них исключает появление другого.

Например, выпадение орла при подбрасывании монеты исключает появление при этом же испытании решки и наоборот.

Определение 4. Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появление хотя бы одного из них является достоверным событием.

Например, при стрельбе по мишени(испытание) обязательно будет либо попадание, либо промах,; эти два события образуют полную группу.

§3. Классическое определение вероятности.

Назовем каждый из возможных результатов испытания элементарным событием или исходом. Те элементарные исходы, которые интересуют нас, называются благоприятными.

Определение 5. Отношение числа благоприятствующих событию исходов к общему числу равновозможных несовместных элементарных, образующих общую полную группу, называется вероятностью события .

Вероятность события обозначается .

Свойство 1. Вероятность достоверного события равна 1.

Свойство 2. Вероятность невозможного события равна 0.

Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число:

.

Рассмотрим примеры непосредственного вычисления вероятности.

Пример 1. Какова вероятность того, что при заполнении спортивной лотереи «6 из 36» будет угадан 4 номера?

Решение. Общее число исходов равно , а число благоприятных

. Отсюда искомая вероятность равна .

Пример 2. В ящике находится 10 стандартных и 5 нестандартных деталей. Какова вероятность, что среди наугад взятых 6 деталей будет 4 стандартных и 2 нестандартных?

Решение. Общее число исходов равно , а число благоприятных определяется как произведение . Отсюда искомая вероятность равна .

Раздел II. Теорема сложения вероятностей.

§1. Несовместные события.

Определение 6. Суммой двух событий и называют событие , которое состоит в появлении либо события , либо события , либо событий и одновременно.

Примеры суммы событий: произведены два выстрела, и события и –попадания при первом и втором выстрелах соответственно; тогда –попадание либо при первом выстреле, либо при втором, либо в обоих.

Аналогично определяется сумма нескольких событий, состоящая в появлении хотя бы одного из них.

Справедливо утверждение (Теорема сложения):

Теорема 1. Вероятность появления какого-либо из нескольких попарно несовместных событий равна сумме их вероятностей

.

Следствие. Вероятность появления какого-либо из двух несовместных событий равна сумме их вероятностей

.

Пример 3. Стрелок стреляет по мишени, разделенной на 4 концентрические зоны. Вероятности попадания в эти области равны соответственно 0.4, 0.3, 0.2 и 0.1.

Решение. Введем события: – попадание в первую зону; – во вторую. Эти события несовместны, поэтому

.

§2. Полная группа событий.

Теорема 2. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице:

Пример 4. На складе готовой продукции находятся изделия, среди которых 5% нестандартных. Найти вероятность того, что при выдаче изделия со склада оно будет стандартным.

Решение. Пусть – событие, означающее, что выданное изделие нестандартно. Тогда – означает событие, что выданная деталь стандартна. Эти события образуют полную группу, поэтому .