§2. Интегральная теорема Лапласа.

Предположим, что в каждом из испытаний событие появляется с одинаковой вероятностью . Требуется определение вероятности события при изменении в интервале значений: . Такую вероятность обозначают . Приближенное вычисление этой вероятности устанавливается интегральной теоремой Лапласа.

Теорема. Пусть вероятностью наступления события в каждом испытании постоянна, причем . Тогда вероятность того, что событие появится в испытаниях от до раз, приближенно равна определенному интегралу:

Где , .

Интегральная формула Лапласа применима в случае больших значений и . Кроме того, при применении этой формулы используются таблицы для интеграла ошибок

.

С учетом этого, интегральная формула Лапласа записывается в виде формулы Ньютона-Лейбница

.

Пример 13. Вероятность выпуска бракованных деталей равна 0.3. Найти вероятность того, что среди выпущенных 100 деталей будет не менее 75 стандартных.

Решение. По условию имеем , , . Требование о том, что должно быть не менее 75 деталей стандартных означает изменение от до . Находим , . Далее обращаемся к таблице для интеграла ошибок и получаем значение

.

Раздел V. Случайные величины.

§1. Случайные величины и законы их распределения.

Определение. Соответствие между отдельными возможными значениями и их вероятностями называется законом распределения ДСВ.

В случае табличного задания закона распределения ДСВ соответствующая таблица состоит из 2 строк, где в первой размещены возможные значении, во второй их вероятности.

.

Закон распределения. Многоугольник распределения

Задача 14. В денежной лотерее разыгрывается 1 выигрыш в 1000000 руб., 10 выигрышей по 100000 руб. и 100 выигрышей по 1000 руб. при общем числе билетов 10000. Найти закон распределения случайного выигрыша Х для владельца одного лотерейного билета.

Решение. Возможные значения для Х: х₁ = 0; х₂ = 1000; х₃ = 100000;

х₄ = 1000000. Вероятности их соответственно равны: р₂ = 0,01; р₃ = 0,001; р₄ = 0,0001; р₁ = 1 – 0,01 – 0,001 – 0,0001 = 0,9889.

Следовательно, закон распределения выигрыша Х может быть задан следующей таблицей:

Х	0	1000	100000	1000000
Р	0,9889	0,01	0,001	0,0001

Задача 15. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:

Х	1	3	6	8
р	0,2	0,1	0,4	0,3

Построить многоугольник распределения.

Решение. Построим прямоугольную систему координат, причем по оси абсцисс будем откладывать возможные значения х_i, а по оси ординат – соответствующие вероятности р_i. Построим точки М₁(1;0,2), М₂(3;0,1), М₃(6;0,4) и М₄(8;0,3). Соединив эти точки отрезками прямых, получим искомый многоугольник распределения.

§2. Числовые характеристики случайных величин

Случайная величина полностью характеризуется своим законом распределения. Осредненное описание случайной величины можно получить при использовании ее числовых характеристик