§3. Противоположные события.
Определение 7. Два единственно возможных события, образующие полную группу, называются противоположными.
Если событие
обозначено через
,
то противоположное ему событие
обозначается через
.
Из теоремы следует, что
.
Раздел III. Теорема умножения вероятностей.
§1. Произведение событий и условная вероятность.
Определение 8. Произведением двух событий и называется событие, означающее совместное появление этих событий.
Если при нахождении вероятности не имеется никаких других ограничений, кроме необходимого комплекса условий, то такая вероятность называется безусловной. В противном случае она называется условной.
Определение 9.
Вероятность события
в предположении о наличии события
называют условной и обозначают как
Рассмотрим пример, поясняющий это определение.
Пример 5. В ящике находится 11 деталей, из них 3 – нестандартные. Из ящика дважды безвозвратно берут по одной детали. Найти вероятность того, что во второй раз будет извлечена стандартная деталь( событие B), если в первый раз была извлечена нестандартная деталь( событие A)
Решение.
После первого извлечения в ящике из 10
деталей останется 8 стандартных, поэтому
.
Пусть известны
вероятность
и условная вероятность
события
.
Тогда справедлива следующая теорема.
Теорема 3. Вероятность произведения двух событий определяется формулой
.
Пример 6. В условиях примера 1 найти вероятности того, что в первый раз извлечена нестандартная деталь, а второй раз стандартная, и наоборот.
Решение. Пусть
–
событие, означающее, извлечение из ящика
нестандартной детали, а событие
–
стандартной. Тогда возможны два случая.1)
Вероятность
,
а условная вероятность
.
Искомая вероятность
.
2) Вероятность
,
а условная вероятность
.
Искомая вероятность
.
Теорема 3 допускает
обобщение на случай произведения любого
числа событий
:
.,
Т.е. вероятность
совместного появления n
событий равна произведению n
вероятностей, где
условные вероятности
событий
в предположении, что события
уже произошли.
Пример 7. В урне находится 4 белых шара, 5 красных 3 синих. Наудачу извлекают по одному шару, не возвращая его обратно. Найти вероятность того, что в первый раз появится белый шар(событие A), во второй раз –красный(событие B), третий– синий(событие C)
Решение. Вероятность
появления белого шара в первый раз
(событие A)
;
условная вероятность появления красного
шара во втором извлечении при условии
появления в первый раз белого шара
.
Условная вероятность появления синего
шара в третьем извлечении при условии
появления в предыдущих случаях белого
и красного шаров
Искомая вероятность определяется при
:
.
§2. Независимые события.
Определение 10. Событие называется независимым от события , если его появление не влияет на вероятность события ):
.
Отсюда следует,
что
.
Для независимых событий теорема умножения
вероятностей принимает вид:
.
Пример 8. Найти вероятность поражения цели при совместной стрельбе тремя орудиями, если вероятности поражения цели орудиями соответственно равны 0.9, 0.8 и 0.7.
Решение. Введем
события. Событие, состоящее в поражения
цели первым орудием обозначим через
,
–
вторым орудием и
–
третьим. Поскольку эти события независимы,
по теореме умножения при
получим:
.
Иногда требуется найти вероятность проявления хотя бы одного события любого числа событий . Ответ на этот вопрос дается следующей теоремой.
Теорема 4. Вероятность появления хотя бы одного события любого числа событий определяется формулой
,
Где
вероятности соответствующих противоположных
событий.
Пример 9. В условиях примера 1 найти вероятность поражения( или хотя бы одного попадания) при залповой стрельбе.