5. Дії над додатними і від’ємними числами

Вивченню дій над додатними і від’ємними числами передує формування основних понять, пов’язаних з введенням від’ємних чисел. Це насамперед систематизація наявних в учнів уявлень про орієнтацію на прямій – “вправо або вліво, вгору або вниз”.

Учитель повинен пам’ятати, що правила дій додавання і множення над додатними і від’ємними числами в теоретичних курсах вводяться за означенням, а дії віднімання та ділення означуються як обернені до додавання і множення.

Різні випадки додавання (знаходження сими двох додатних чисел; двох від’ємних чисел; додатного і від’ємного чисел; суми двох доданків, один з яких дорівнює нулю; суми двох протилежних чисел) розглядають спочатку у вигляді вправ на координатній прямій, а потім узагальнюють відповідними правилами.

До правил виконання додавання двох чисел можна підвести учнів на прикладі задачі про зміну температури. Під час пояснення вчитель використовує демонстраційний термометр.

Підхід до обґрунтування дій з додатними і від’ємними числами відображає ідею введення раціонального числа як міри зміни величини. Ця ідея полягає в тому, що певне збільшення величини можна виразити додатним числом, а зменшення – від’ємним. Число 0 характеризує таку “зміну”, коли величина не зростає і не зменшується.

Істотну методичну роль відіграють доцільно дібрані задачі; за допомогою яких вчителі з’ясовують правила дій з раціональними числами.

Виведення правил віднімання раціональних чисел дохідливо проводиться шляхом розв’язування доцільно дібраних задач з ілюстрацією розв’язків на моделі термометричної шкали.

Задача. Вранці температура а – градусів, вдень – b градусів. На скільки градусів змінилася температура?

Позначивши шукану змінну температури через х, разом з учнями виводимо формулу х = b-a, яка є загальним розв’язком даної задачі. Надаючи відповідних значень для а та b, можна охопити можливі випадки віднімання раціональних чисел.

1. Сформулювати задачу для випадку, коли а = +3, b = +7. Після того, як учні усвідомили задачу для даного випадку, знаходимо її розв’язок на моделі термометричної шкали і записуємо за формулою: х = (+7) – (+3) = +4.

2. Сформулювати задачу для випадку, коли а = +3, b = - 7. Очікувана відповідь. Вранці температура +3, вдень - 7. На скільки градусів знизилась температура? За допомогою моделі термометричної шкали знаходимо, що температура знизилась на 10. За формулою розв’язок записують на дошці та в зошитах х = (- 7) – (+3) = - 10.

3. Сформулювати задачу для випадку, коли а = -3, b = +7. Після аналогічних міркувань приводимо учнів до висновку, що температура підвищилася на 10 і записуємо цей результат за формулою х = (+ 7) – (-3) = + 10.

4. Сформулювати задачу для випадку, коли а = -3, b = -7. Термометрична модель допоможе і тут визначити шукану змінну температури, яку записують за формулою х = (-7) – (-3) = -4.

Далі приводимо учнів до потрібного правила віднімання раціональних чисел.

1. Щоб додати два від’ємних числа треба:

1. Додати модулі доданків;

2. Перед одержаним числом поставити знак “ – ”;

2. Щоб додати два числа з різними знаками, треба:

3. Від більшого модуля відняти менший;

4. Поставити знак числа з більшим модулем.

3. Щоб від одного числа відняти друге число треба до зменшуваного додати число, протилежне від’ємнику.

Розглядаються приклади:

(+8) – (+3) = (+5), оскільки (+3) + (+5) = (+8)

(+7) – (-4) = (+11), оскільки (-4) + (+11) = (+7)

(-6) – (+3) = (-9), оскільки (+3) + (-9) = (-6)

(-10) – (-5) = (-5), оскільки (-5) + (-5) = (-10)

Після розв’язування певної кількості вправ на використання правила можна від запису (+6) + (-3) = 3, перейти до запису 6 – 3 = 3.