9.Приближенное решение систем нелинейных уравнений.

Метод Ньютона. Рассмотрим, вообще говоря, нелинейную систему уравнений

(9.1)

с действительными левыми частями.

Запишем короче систему (9.1). Совокупность аргументов х₁, х_2,…, х_п можно рассматривать как n-мерный вектор

.

Аналогично совокупность функций f₁ , f₂, ..., f_n представляет собой также n-мерный вектор (вектор-функцию)

.

Поэтому система (9.1) кратко записывается так:

f(x) = 0. (9.2)

Для решения системы (9.2) будем пользоваться методом последовательных приближений.

Предположим, что найдено р-е приближение

одного из изолированных корней х=(x_1, х₂, ..., х_п) векторного уравнения (9.2). Тогда точный корень уравнения (9.2) можно представить в виде

, (9.3)

где - поправка (погрешность корня).

Подставляя выражение (9.3) в уравнение (9.2), будем иметь:

. (9.4)

Предполагая, что функция f(x) непрерывно дифференцируема в некоторой выпуклой области, содержащей x и x^(p), разложим левую часть уравнения (9.4) по степеням малого вектора ε^(p), ограничиваясь линейными членами,

(9.5)

или, в развернутом виде,

(9.6)

Из формул (9.5) и (9.6) вытекает, что под производной f ´(x) следует понимать матрицу Якоби системы функций f₁, f₂,…,f_n относительно переменных x₁, x₂,…,x_n, т.е.

,

или в краткой записи

Система (9.6) представляет собой линейную систему относительно поправок (i=1,2,…,n) с матрицей W(x), поэтому формула (9.5) может быть переписана в виде

Отсюда, предполагая, что матрица - неособенная, получим:

.

Следовательно,

(9.7)

(метод Ньютона).

За нулевое приближение x⁽⁰⁾ можно взять грубое значение искомого корня.

Метод итерации. Пусть дана система нелинейных уравнений специального вида

(9.8)

где функции действительны, определены и непрерывны в некоторой окрестности ω изолированного решения этой системы.

Введя в рассмотрение векторы

и ,

систему (9.8) можно переписать более кратко:

. (9.9)

Для нахождения вектор-корня уравнения (9.9) часто удобно использовать метод итерации

(9.10)

где начальное приближение . Заметим, что если процесс итерации (9.10) сходится, то предельное значение

(9.11)

обязательно является корнем уравнения (9.9). Действительно, предполагая, что соотношение (9.11) выполнено, и переходя к пределу в равенстве (9.10) при р , в силу непрерывности функции φ(х) будем иметь:

,

т.е.

Таким образом, ξ есть корень векторного уравнения (9.9).

Если, сверх того, все приближения х^(p) (р = 0, 1, 2, .. .) принадлежат области ω и х* — единственный корень системы (9.10) в ω, то, очевидно,

.

Метод итерации может быть применен также к общей системе

f(x)=0, (9.12)

где f(x)—вектор-функция, определенная и непрерывная в окрестности ω изолированного вектор-корня х*. Например, перепишем эту систему в следующем виде:

,

где Λ — неособенная матрица. Введя обозначение

(9.13)

будем иметь

. (9.14)

К последнему уравнению легко применяется обычный метод итерации (9.10).

Если функция f(x) имеет непрерывную производную f ´ (х) в ω, то из формулы (9.13) вытекает:

Процесс итерации для уравнения (9.14) быстро сходится, если мала по норме. Учитывая эго обстоятельство, выбираем матрицу Λ так, чтобы

отсюда, если матрица - неособенная, будем иметь:

В случае, если , то следует выбрать другое начальное приближение .