5. Нахождение наибольшего по модулю собственного значения и соответствующего собственного вектора.

Изложим метод, позволяющий вычислять наибольшее по модулю собственное значение матрицы и принадлежащий ему собственный вектор при помощи вычисления последовательности итераций произвольного вектора. Излагаемый метод называется степенным и является простейшим итерационным процессом для решения частичной проблемы собственных значений. Он применим для произвольной матрицы, хотя ход итерационного процесса существенно зависит от того, как входит наибольшее по модулю собственное значение матрицы в ее каноническую форму Жордана. В связи с этим приходится различать несколько возможных случаев.

Для упрощения изложения мы будем предполагать, что все собственные значения матрицы, кроме, может быть, наибольшего по модулю, имеют линейные элементарные делители. Будем также считать, что элементы исследуемых матриц вещественны.

Наибольшее по модулю собственное значение вещественное и простое. В этом случае наибольшему по модулю собственному значению соответствует один линейный элементарный делитель, так что в силу только что сформулированного соглашения, все элементарные делители матрицы линейны. Поэтому существует базис из собственных векторов U₁, U_2,…,U_n, принадлежащих собственным значениям λ₁, λ₂,...,λ_n, расположенным в порядке убывания модулей, причем |λ₁|>|λ₂|, но среди остальных могут быть равные. Возьмем произвольный вектор Y₀ и образуем последовательность его итераций матрицей A

AY₀, A²Y₀,…,A^kY₀,…

Напишем разложение вектора Y₀ по собственным векторам

Y₀=a₁U₁+a₂U₂+…+a_nU_n . (5.1)

Среди чисел a_i некоторые могут равняться нулю. Предположим, однако, что a_{1 ≠}0.

Очевидно, что

AY₀=a₁λ₁U₁+a₂λ₂U₂+…+a_nλ_nU_n,

… … … (5.2)

A^kY₀=a₁λ₁^kU₁+a₂λ₂^kU₂+…+a_nλ_n^k U_n.

Обозначим A^kY₀=Y_k=(y_1k,y_2k,…,y_nk)´ _и выясним структуру компонент вектора Y_k. Пусть

U₁=(u₁₁, u₂₁,…, u_n1)´ , U₂=(u₁₂, u₂₂,…, u_n2)´ ,…, U₁=(u_1n, u_2n,…, u_nn)´.

Тогда из (5.2) получим

y_ik=a₁u_i1λ₁^k+ a₂u_i2λ₂^k+…+ a_nu_inλ_n^k.

Коэффициент при λ₁^k по крайней мере в одной из компонент не paвен нулю, так как a_1≠0 по предположению и вектор U_l не нулевой. Пусть y_k (первый индекс опускаем) какая-либо из компонент вектора Y_k, для которой коэффициент при λ₁^k отличен от нуля. Тогда

y_k=c₁λ₁^k+c₂λ₂^k+…+c_nλ_n^k , (5.3)

причем коэффициент с_i не зависит от индекса k и с_1≠0.

Рассмотрим отношение компонент двух соседних итераций.

, (5.4)

где

b_i=c_i/c₁ a_i= λ_i/λ₁. (5.5)

Произведем деление и удерживая члены до порядка α₂^2k _и α₃^k _{включительно}, получим

(5.6)

где

b₂´=b₂(1-α₂), b´₃=b₃(1-α₃) (5.7)

Отсюда мы видим, что если k достаточно велико, то

λ₁≈y_k+1/y_k (5.8)

Так как обычно все компоненты вектора U₁ отличны от нуля, то в качестве y_k может быть взята, правило, любая компонента вектора Y_k. таким образом, первое собственное значение приближенно равно отношению любых соответствующих компонент двух соседних достаточно высоких итераций произвольного вектора матрицей A.

При практическом выполнении итераций следует вычислять отношения y_k+1/y_k для нескольких компонент. Хорошее совпадение этих отношений y_k+1/y_k будет показывать, что в выражении (5.6) различие значений коэффициентов b₂´,b₁´ уже перестало играть заметную роль.

Быстрота сходимости процесса в рассматриваемом случае определяется величиной отношения λ₂/λ₁ и может быть медленной, если это отношение близко к единице.

Для того чтобы избежать роста компонент, иногда целесообразно при вычислении итераций тем или другим способом нормировать на каждом шагу получаемые векторы. Удобными нормировками являются деление вектора на его первую компоненту, или на наибольшую компоненту, или, наконец, нормировка к единичной длине.

При этом вместо последовательности Y_k мы получим последовательность Ỹ_k=μ_kY_k, где μ_k нормирующие множители, и для получения λ₁ надо брать отношения компонент векторов AỸ_k и Ỹ_k.

Описанный процесс дает возможность определить также и все компоненты собственного вектора, принадлежащего наибольшему собственному числу. Именно, отношения компонент вектора Y_k стремится к отношениям компонент этого собственного вектора.

Действительно, при a₁≠0

Y_k=A^kY₀=λ₁^k[a₁U₁+a₂(λ₂/λ₁)^kU₂+…+ a_n(λ_n/ λ₁)^kU_n]=a₁λ₁^k[U₁+O(λ₂/ λ₁)^k]. (5.9)

Наибольшее по модулю собственное значение вещественное, кратное.

B этом случае формула (5.3) остается верной, но несколько первых членов можно соединить вместе, так что

y_k=c₁λ₁^k+ c_r+1λ_r+1^k+…+ c_nλ_n^k

где r кратность λ₁.

Все дальнейшие рассуждения остаются в силе и потому

_{. (5.10)}

Таким образом, и в этом случае, при условии a₁≠ 0, отношение y_k-1/y_{k дает приближенное значение наибольшего собственного числа.}

Вопрос о кратности корня не может быть решен без более детального исследования.

Векторы Y_k=A^kY₀, так же как и в предыдущем случае, сходятся по направлению к одному из собственных векторов, принадлежащих λ₁, именно к собственному вектору, лежащему в циклическом подпространстве, порожденном вектором Y₀. Исходя из различных начальных векторов, мы придем, вообще говоря, к различным собственным векторам.

Два наибольшие по модулю собственные значения вещественны и противоположны по знаку. Из равенства (5.3) мы видим, что в этом случае четные и нечетные итерации имеют различные коэффициенты при соответствующих степенях λ₁, так как

y_2k=(c₁+c₂)λ₁^2k+c₃λ₃^2k+…+c_nλ_n^2k,

y_2k+1=(c₁-c₂)λ₁^2k+1+c₃λ₃^2k+1+…+c_nλ_n^2k+1,

и поэтому две соседние итерации не могут быть использованы для определения λ₁. Однако, мы можем определить λ₁² по одной из следующих формул:

λ₁²=y_2k+2/y_2k или λ₁²=y_2k+1/y_2k-1. (5.11)

Для нахождения собственных векторов, принадлежащих λ₁ и λ₂ =- λ₁, целесообразно построить векторы Y_k+ λ₁Y_k-1 и Y_k - λ₁Y_k-1. Отношения компонент этих векторов будут стремится, соответственно, к отношению компонент векторов U₁ и U₂, принадлежащих собственным числам λ₁ и λ₂.

Действительно, в силу равенства:

Y_k=a₁λ₁^kU₁+a₂(-λ₁)^kU₂+a₃λ₃^kU₃+… (5.12)

имеем

Y_k+ λ₁Y_k-1=2 a₁ λ₁^kU₁+ a₃ (λ₃+λ₁) λ₃^k-1 U₃+…=λ₁^k[2a₁U₁+O(λ₃/ λ₁)^k],

Y_k-λ₁Y_k-1=2a₂(-λ₁)^kU₂+a₃(λ₃-λ₁)λ₃^k-1U₃+…=(-λ₁)^k[2a₂U₂+O(λ₃/λ₁)^k]. (5.13)