Лабораторная работа №2 Решение систем нелинейных уравнений методом Ньютона.

Рассмотрим систему п уравнений с п неизвестными

(2.1)

Относительно функций f_i (x) предположим, что в некоторой выпуклой области G, содержащей решение системы, они имеют непрерывные производные первого порядка и в некоторой окрестности решения матрица

не вырождена. Тогда решение системы (2.1) можно найти так. Рассмотрим систему уравнений

или в векторной форме

( 2.2. )

где

— матрица, обратная f(х).

Решение системы (2.1) является и решением системы (2.2), причем можно найти методом итерации, т. е. как результат итерационною процесса.

(2.3)

Этот процесс сходится к , если только начальное приближение x⁽⁰⁾ взято достаточно близко к .

Счет по формуле (2.3) связан с большим количеством вычислений, так гак на каждом шаге нужно находить матрицу . Поэтому иногда рассматривают модификацию метода, предложенную Л. В. Канторовичем.

Вместо системы (2.2) рассматривают систему

(2.4)

а решение ее получают как предел последовательности

(2.5)

Систему нелинейных уравнений

(2.6)

………………..

запишем в векторной форме F(x)=0, где

Итак, если известно начальное приближение , то последующие приближения по методу Ньютона вычисляются по формуле

где — обратная матрица для матрицы

в точке .

Порядок выполнения работы

1. Изучить теоретическую часть.

2. Найти начальное приближение, для чего построить графики заданных функций. Выбрать один из корней и использовать это начальное приближение для дальнейшего уточнения,

3. Составить программу решения нелинейной системы методом Ньютона.

4. Определить корень с точностью ε₁ = 0,0001 и ε₂ = 0,00001. Выдать на экран соответствующее число итераций.

5. Проанализировать результаты. Сделать выводы о точности и скорости сходимости метода.,

Варианты заданий

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

23)

24)

Лабораторная работа №3

Интерполирование функций.

Цель работы: изучение методов интерполирования функций с помощью алгебраических многочленов.

Постановка задачи. Интерполировать функцию f(x) на отрезке [a,b] полиномами Лагранжа. Исследовать точность и устойчивость интерполяции, а также влияние на точность и устойчивость особых точек функции f(x).

Теоретическая часть

Пусть на отрезке даны n+1 различных значений аргумента: и известны для функции y=f(x) соответствующие значения:

Построим полином степени не выше n, имеющий в заданных узлах те же значения, что и функция f(x), т.е. такой, что i=0,1,...,n.

Построим сначала фундаментальный полином такой, что

, (3.1)

Введем функцию Тогда . Это справедливо, так как

Интерполяционный полином Лагранжа будет иметь следующий вид

(3.2)

Действительно, легко проверить, что полином (3.2) имеет степень n, и его значения совпадают со значениями интерполируемой функции в узлах интерполяции

Укажем схему, облегчающую вычисление коэффициентов при k=0,1,...n, в формуле Лагранжа (3.2), так называемых лагранжевых коэффициентов

Для вычисления лагранжевых коэффициентов (3.1) можно использовать следующую схему. Запишем таблицу разностей следующим образом:

(3.3)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.

Обозначим произведение элементов первой строки через , второй - через и т.д., n-ной - через . Произведение элементов главной диагонали, как нетрудно видеть, будет (x). Отсюда следует, что

(3.4)

Следовательно,

. (3.5)

Погрешность интерполяции многочленом Лагранжа (3.2) определяется формулой

(3.6)

При построении интерполяционного полинома большое значение имеет выбор узлов интерполяции. Возникает задача о наиболее рациональном выборе узлов так, чтобы полином имел наименьшее максимальное по модулю значение на отрезке [a,b].

Эта задача была решена П.Л. Чебышевым, который доказал, что наилучший выбор узлов дается формулой

(4.7)

- нули полинома Чебышева

Указания к выполнению лабораторной работы

1. Составить и отладить программу на функции, не имеющей никаких особых точек на отрезке интерполирования.

2. При исследовании точности для равномерной системы узлов и системы узлов Чебышева рассмотреть интерполирование указанной в вариантах заданий функции на различном числе узлов интерполяции. Сделать вывод о влиянии количества узлов на точность интерполяции.

3. При исследовании устойчивости интерполяции считать, что значения интерполируемой функции известны с какой-то случайной погрешностью. Сделать вывод о том, как эта случайная погрешность в узлах интерполяции влияет на значения полинома Лагранжа в промежуточных точках.

4. Предположим, что функция f(x) имеет особую точку . Тогда для оценки влияния особой точки c на точность и устойчивость следует рассматривать интерполяцию функции f(x) на интервале , . Оценить точность и устойчивость интерполяции при различных значениях .

5. Погрешность интерполяции оценить в метрике пространства C[a;b]. Особо внимательно исследовать отклонение интерполяционного многочлена от функции вблизи особых точек.